2次関数 $f(x) = 2x^2 - 6x + a$ が与えられている。この関数のグラフの軸を求め、さらに最小値が $\frac{1}{2}$ であるときの $a$ の値を求める問題。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = 2x^2 - 6x + a$ が与えられている。この関数のグラフの軸を求め、さらに最小値が $\frac{1}{2}$ であるときの $a$ の値を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、2次関数を平方完成する。

$f(x) = 2(x^2 - 3x) + a = 2\left(x^2 - 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2\right) - 2\left(\frac{3}{2}\right)^2 + a$

$f(x) = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - 2\cdot\frac{9}{4} + a$

$f(x) = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{2} + a$

したがって、グラフの軸は $x = \frac{3}{2}$ である。

次に、$f(x)$ の最小値は $-\frac{9}{2} + a$ である。

問題文より、最小値は $\frac{1}{2}$ であるから、

$-\frac{9}{2} + a = \frac{1}{2}$

$a = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = \frac{10}{2} = 5$

3. 最終的な答え

グラフの軸は $x = \frac{3}{2}$。

$a$ の値は $5$。