次の(ア)～(ク)のうち、$y$ が $x$ の 2 乗に比例するものを選び、その比例定数を求める。 (ア) 1 辺 $x$ cm の正方形の面積を $y$ cm$^2$ とする。 (イ) 1 辺 $x$ cm の正方形の周の長さを $y$ cm とする。 (ウ) 1 辺 $x$ cm の立方体の体積を $y$ cm$^3$ とする。 (エ) 1 辺 $x$ cm の立方体の表面積を $y$ cm$^2$ とする。 (オ) 1 辺 $x$ cm の正三角形の面積を $y$ cm$^2$ とする。 (カ) 半径 $x$ cm, 中心角 60°のおうぎ形の面積を $y$ cm$^2$ とする。 (キ) 底面の半径 $x$ cm, 体積 314 cm$^3$ の円すいの高さを $y$ cm とする。 (ク) 底面の半径 $x$ cm, 高さ 10 cm の円柱の体積を $y$ cm$^3$ とする。

1. 問題の内容

次の(ア)～(ク)のうち、$y$ が $x$ の 2 乗に比例するものを選び、その比例定数を求める。

(ア) 1 辺 $x$ cm の正方形の面積を $y$ cm$^2$ とする。

(イ) 1 辺 $x$ cm の正方形の周の長さを $y$ cm とする。

(ウ) 1 辺 $x$ cm の立方体の体積を $y$ cm$^3$ とする。

(エ) 1 辺 $x$ cm の立方体の表面積を $y$ cm$^2$ とする。

(オ) 1 辺 $x$ cm の正三角形の面積を $y$ cm$^2$ とする。

(カ) 半径 $x$ cm, 中心角 60°のおうぎ形の面積を $y$ cm$^2$ とする。

(キ) 底面の半径 $x$ cm, 体積 314 cm$^3$ の円すいの高さを $y$ cm とする。

(ク) 底面の半径 $x$ cm, 高さ 10 cm の円柱の体積を $y$ cm$^3$ とする。

2. 解き方の手順

$y$ が $x$ の 2 乗に比例するとは、$y = ax^2$ (a は比例定数) の形で表せることを意味します。各選択肢について、$y$ を $x$ の式で表し、$y = ax^2$ の形になるか確認します。

(ア) 正方形の面積: $y = x^2$。これは $y = ax^2$ の形 ($a=1$) なので、$x$ の2乗に比例する。

(イ) 正方形の周の長さ: $y = 4x$。これは $x$ の 1 乗に比例。

(ウ) 立方体の体積: $y = x^3$。これは $x$ の 3 乗に比例。

(エ) 立方体の表面積: $y = 6x^2$。これは $y = ax^2$ の形 ($a=6$) なので、$x$ の2乗に比例する。

(オ) 正三角形の面積: $y = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2$。これは $y = ax^2$ の形 ($a = \frac{\sqrt{3}}{4}$) なので、$x$ の2乗に比例する。

(カ) 扇形の面積: $y = \pi x^2 \times \frac{60}{360} = \frac{\pi}{6}x^2$。これは $y = ax^2$ の形 ($a = \frac{\pi}{6}$) なので、$x$ の2乗に比例する。

(キ) 円すいの高さ: 体積が 314 cm$^3$ より $314 = \frac{1}{3} \pi x^2 y$。 よって、$y = \frac{3 \times 314}{\pi x^2} = \frac{942}{\pi x^2}$。これは $x$ の2乗に反比例。

(ク) 円柱の体積: $y = \pi x^2 \times 10 = 10\pi x^2$。これは $y = ax^2$ の形 ($a=10\pi$) なので、$x$ の2乗に比例する。

したがって、$y$ が $x$ の 2 乗に比例するものは (ア)、(エ)、(オ)、(カ)、(ク) です。それぞれの比例定数は以下の通りです。

(ア) $y = x^2$ なので、$a = 1$

(エ) $y = 6x^2$ なので、$a = 6$

(オ) $y = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2$ なので、$a = \frac{\sqrt{3}}{4}$

(カ) $y = \frac{\pi}{6}x^2$ なので、$a = \frac{\pi}{6}$

(ク) $y = 10\pi x^2$ なので、$a = 10\pi$

3. 最終的な答え

(ア) 比例定数: 1

(エ) 比例定数: 6

(オ) 比例定数: $\frac{\sqrt{3}}{4}$

(カ) 比例定数: $\frac{\pi}{6}$

(ク) 比例定数: $10\pi$