与えられた行列の等式 $AX = B$ を満たす正方行列 $X$ を求める問題です。ここで、$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ -3 & 3 & 5 \end{pmatrix}$ であり、$B = \begin{pmatrix} 8 & 7 & 4 \\ 4 & 6 & 3 \\ 8 & 7 & 4 \end{pmatrix}$ です。

1. 問題の内容

与えられた行列の等式 $AX = B$ を満たす正方行列 $X$ を求める問題です。ここで、$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ -3 & 3 & 5 \end{pmatrix}$ であり、$B = \begin{pmatrix} 8 & 7 & 4 \\ 4 & 6 & 3 \\ 8 & 7 & 4 \end{pmatrix}$ です。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めます。そのためには、$A$ の行列式を計算します。

$det(A) = 1(-2*5 - 1*3) - (-3)(1*5 - 1*(-3)) + 3(1*3 - (-2)*(-3)) = 1(-10 - 3) + 3(5 + 3) + 3(3 - 6) = -13 + 3(8) + 3(-3) = -13 + 24 - 9 = 2$

次に、$A$ の余因子行列 $C$ を計算します。

$C_{11} = (-2)*5 - 1*3 = -13$

$C_{12} = -(1*5 - 1*(-3)) = -8$

$C_{13} = 1*3 - (-2)*(-3) = -3$

$C_{21} = -((-3)*5 - 3*3) = -(-15 - 9) = 24$

$C_{22} = 1*5 - 3*(-3) = 14$

$C_{23} = -(1*3 - (-3)*(-3)) = -(3 - 9) = 6$

$C_{31} = (-3)*1 - (-2)*3 = -3 + 6 = 3$

$C_{32} = -(1*1 - 1*3) = -(1 - 3) = 2$

$C_{33} = 1*(-2) - (-3)*1 = -2 + 3 = 1$

余因子行列 $C$ は $C = \begin{pmatrix} -13 & -8 & -3 \\ 24 & 14 & 6 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ となります。

$A$ の逆行列 $A^{-1}$ は、$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} C^T$ で与えられます。

$C^T = \begin{pmatrix} -13 & 24 & 3 \\ -8 & 14 & 2 \\ -3 & 6 & 1 \end{pmatrix}$

したがって、$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -13 & 24 & 3 \\ -8 & 14 & 2 \\ -3 & 6 & 1 \end{pmatrix}$ となります。

$X = A^{-1} B$ なので、

$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -13 & 24 & 3 \\ -8 & 14 & 2 \\ -3 & 6 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 & 7 & 4 \\ 4 & 6 & 3 \\ 8 & 7 & 4 \end{pmatrix}$

$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -104 + 96 + 24 & -91 + 144 + 21 & -52 + 72 + 12 \\ -64 + 56 + 16 & -56 + 84 + 14 & -32 + 42 + 8 \\ -24 + 24 + 8 & -21 + 36 + 7 & -12 + 18 + 4 \end{pmatrix}$

$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 16 & 74 & 32 \\ 8 & 42 & 18 \\ 8 & 22 & 10 \end{pmatrix}$

$X = \begin{pmatrix} 8 & 37 & 16 \\ 4 & 21 & 9 \\ 4 & 11 & 5 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$X = \begin{pmatrix} 8 & 37 & 16 \\ 4 & 21 & 9 \\ 4 & 11 & 5 \end{pmatrix}$