$-\sin\theta + \cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r>0$、 $0 \le \alpha < 2\pi$ とします。

1. 問題の内容

$-\sin\theta + \cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r>0$、 $0 \le \alpha < 2\pi$ とします。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を行います。

まず、$r\sin(\theta + \alpha)$ を加法定理で展開します。

$r\sin(\theta + \alpha) = r(\sin\theta \cos\alpha + \cos\theta \sin\alpha) = (r\cos\alpha)\sin\theta + (r\sin\alpha)\cos\theta$

これと $-\sin\theta + \cos\theta$ を比較すると、

$r\cos\alpha = -1$

$r\sin\alpha = 1$

という関係が成り立ちます。

この2式を2乗して足し合わせると、

$(r\cos\alpha)^2 + (r\sin\alpha)^2 = (-1)^2 + 1^2$

$r^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = 1 + 1$

$r^2 = 2$

$r > 0$ より、 $r = \sqrt{2}$

次に、$\cos\alpha$ と $\sin\alpha$ を求めます。

$r\cos\alpha = -1$ より、 $\cos\alpha = \frac{-1}{r} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$r\sin\alpha = 1$ より、 $\sin\alpha = \frac{1}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ かつ $\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす $\alpha$ は、$\alpha = \frac{3}{4}\pi$です。（$0 \le \alpha < 2\pi$ の範囲で）

したがって、$-\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{3}{4}\pi)$ となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{3}{4}\pi)$