与えられた条件から、等比数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。具体的には、初項と公比、あるいは特定の項の値が与えられています。

1. 問題の内容

与えられた条件から、等比数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。具体的には、初項と公比、あるいは特定の項の値が与えられています。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項は、初項を $a$、公比を $r$ とすると、

$a_n = a \cdot r^{n-1}$

で表されます。

(1) 初項が3、公比が5の場合：

$a = 3$, $r = 5$なので、

$a_n = 3 \cdot 5^{n-1}$

(2) 初項が7、公比が-2の場合：

$a = 7$, $r = -2$なので、

$a_n = 7 \cdot (-2)^{n-1}$

(3) 初項が-3、公比が3の場合：

$a = -3$, $r = 3$なので、

$a_n = -3 \cdot 3^{n-1} = -3^n$

(4) 初項が5、公比が1/2の場合：

$a = 5$, $r = \frac{1}{2}$なので、

$a_n = 5 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = 5 \cdot \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{5}{2^{n-1}}$

(5) 公比が2、第4項が24の場合：

$r = 2$, $a_4 = 24$です。

$a_4 = a \cdot r^{4-1} = a \cdot 2^3 = 8a$

$8a = 24$より、$a = 3$

$a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

(6) 初項が3、第4項が192の場合：

$a = 3$, $a_4 = 192$です。

$a_4 = a \cdot r^{4-1} = a \cdot r^3 = 3r^3$

$3r^3 = 192$より、$r^3 = 64$

$r = 4$

$a_n = 3 \cdot 4^{n-1}$

(7) 第2項が48、第4項が12の場合：

$a_2 = ar = 48$

$a_4 = ar^3 = 12$

$\frac{ar^3}{ar} = \frac{12}{48} = \frac{1}{4}$

$r^2 = \frac{1}{4}$より、$r = \pm \frac{1}{2}$

$r = \frac{1}{2}$ のとき、$a \cdot \frac{1}{2} = 48$ より、$a = 96$

$a_n = 96 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

$r = -\frac{1}{2}$ のとき、$a \cdot (-\frac{1}{2}) = 48$ より、$a = -96$

$a_n = -96 \cdot (-\frac{1}{2})^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3 \cdot 5^{n-1}$

(2) $a_n = 7 \cdot (-2)^{n-1}$

(3) $a_n = -3^n$

(4) $a_n = \frac{5}{2^{n-1}}$

(5) $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

(6) $a_n = 3 \cdot 4^{n-1}$

(7) $a_n = 96 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$ または $a_n = -96 \cdot (-\frac{1}{2})^{n-1}$