与えられた等式 $x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$ が成り立つことを証明します。

1. 問題の内容

与えられた等式 $x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$ が成り立つことを証明します。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開し、整理します。

$(x + y)^3$ を展開すると、以下のようになります。

$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

次に、$-3xy(x + y)$ を展開すると、以下のようになります。

$-3xy(x + y) = -3x^2y - 3xy^2$

したがって、右辺全体は以下のようになります。

$(x + y)^3 - 3xy(x + y) = (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) - (3x^2y + 3xy^2)$

括弧を外して整理すると、以下のようになります。

$x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 - 3x^2y - 3xy^2 = x^3 + y^3$

これは左辺と等しいので、与えられた等式は成り立ちます。

3. 最終的な答え

したがって、$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$ が成り立つことが証明されました。