与えられた2次関数のグラフがx軸に接する時の定数 $m$ の値を求め、そのときの接点の座標を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数のグラフがx軸に接する時の定数 $m$ の値を求め、そのときの接点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 + x + m$ の場合

2次関数 $y = x^2 + x + m$ のグラフがx軸に接するということは、2次方程式 $x^2 + x + m = 0$ が重解を持つということです。

2次方程式が重解を持つための条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ が0になることです。

この場合、$a=1, b=1, c=m$ なので、判別式 $D = 1^2 - 4(1)(m) = 1 - 4m$ となります。

したがって、$1 - 4m = 0$ を解くと、$m = \frac{1}{4}$ となります。

$m = \frac{1}{4}$ のとき、2次方程式は $x^2 + x + \frac{1}{4} = 0$ となり、

$(x + \frac{1}{2})^2 = 0$ と因数分解できるので、重解は $x = -\frac{1}{2}$ です。

したがって、接点の座標は $(-\frac{1}{2}, 0)$ となります。

(2) $y = x^2 - 2mx + m$ の場合

2次関数 $y = x^2 - 2mx + m$ のグラフがx軸に接するということは、2次方程式 $x^2 - 2mx + m = 0$ が重解を持つということです。

2次方程式が重解を持つための条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ が0になることです。

この場合、$a=1, b=-2m, c=m$ なので、判別式 $D = (-2m)^2 - 4(1)(m) = 4m^2 - 4m$ となります。

したがって、$4m^2 - 4m = 0$ を解くと、$4m(m - 1) = 0$ より、$m = 0$ または $m = 1$ となります。

$m = 0$ のとき、2次方程式は $x^2 = 0$ となり、重解は $x = 0$ です。

したがって、接点の座標は $(0, 0)$ となります。

$m = 1$ のとき、2次方程式は $x^2 - 2x + 1 = 0$ となり、

$(x - 1)^2 = 0$ と因数分解できるので、重解は $x = 1$ です。

したがって、接点の座標は $(1, 0)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $m = \frac{1}{4}$, 接点の座標: $(-\frac{1}{2}, 0)$

(2) $m = 0$ のとき、接点の座標: $(0, 0)$. $m = 1$ のとき、接点の座標: $(1, 0)$.