与えられた行列の積を計算せよ。 $$ \begin{pmatrix} \cosh \varphi & \sinh \varphi \\ \sinh \varphi & \cosh \varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cosh \psi \\ \sinh \psi \end{pmatrix} $$
2025/7/13
1. 問題の内容
与えられた行列の積を計算せよ。
\begin{pmatrix}
\cosh \varphi & \sinh \varphi \\
\sinh \varphi & \cosh \varphi
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cosh \psi \\
\sinh \psi
\end{pmatrix}
2. 解き方の手順
行列の積の定義に従って計算を行う。
\begin{pmatrix}
\cosh \varphi & \sinh \varphi \\
\sinh \varphi & \cosh \varphi
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cosh \psi \\
\sinh \psi
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cosh \varphi \cosh \psi + \sinh \varphi \sinh \psi \\
\sinh \varphi \cosh \psi + \cosh \varphi \sinh \psi
\end{pmatrix}
双曲線関数の加法定理を用いると
\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y
\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y
したがって、
\begin{pmatrix}
\cosh \varphi \cosh \psi + \sinh \varphi \sinh \psi \\
\sinh \varphi \cosh \psi + \cosh \varphi \sinh \psi
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cosh(\varphi + \psi) \\
\sinh(\varphi + \psi)
\end{pmatrix}
3. 最終的な答え
\begin{pmatrix}
\cosh(\varphi + \psi) \\
\sinh(\varphi + \psi)
\end{pmatrix}