次の式を計算してください。 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$

1. 問題の内容

次の式を計算してください。

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

まず、各分数の分母を有理化します。

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ の分母を有理化するには、分母と分子に $\sqrt{7} + \sqrt{5}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7}(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})} = \frac{7 + \sqrt{35}}{7 - 5} = \frac{7 + \sqrt{35}}{2}$

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ の分母を有理化するには、分母と分子に $\sqrt{7} - \sqrt{5}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{7} - \sqrt{5})}{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{35} - 5}{7 - 5} = \frac{\sqrt{35} - 5}{2}$

与えられた式にこれらを代入します。

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{7 + \sqrt{35}}{2} - \frac{\sqrt{35} - 5}{2} = \frac{7 + \sqrt{35} - (\sqrt{35} - 5)}{2} = \frac{7 + \sqrt{35} - \sqrt{35} + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$

3. 最終的な答え

6