2次方程式 $2x^2 - 6x - 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\frac{\beta^2}{\alpha} + \frac{\alpha^2}{\beta}$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 6x - 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\frac{\beta^2}{\alpha} + \frac{\alpha^2}{\beta}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求める。

与えられた2次方程式 $2x^2 - 6x - 3 = 0$ について、解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = - \frac{-6}{2} = 3$$

$$\alpha \beta = \frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}$$

次に、求めたい式 $\frac{\beta^2}{\alpha} + \frac{\alpha^2}{\beta}$ を変形する。

$$\frac{\beta^2}{\alpha} + \frac{\alpha^2}{\beta} = \frac{\beta^3 + \alpha^3}{\alpha \beta}$$

ここで、$\alpha^3 + \beta^3$ を $(\alpha + \beta)$ と $(\alpha \beta)$ を用いて表す。

$$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$$

これに $\alpha + \beta = 3$ と $\alpha \beta = -\frac{3}{2}$ を代入する。

$$\alpha^3 + \beta^3 = (3)^3 - 3\left(-\frac{3}{2}\right)(3) = 27 + \frac{27}{2} = \frac{54+27}{2} = \frac{81}{2}$$

したがって、

$$\frac{\beta^2}{\alpha} + \frac{\alpha^2}{\beta} = \frac{\alpha^3 + \beta^3}{\alpha \beta} = \frac{\frac{81}{2}}{-\frac{3}{2}} = \frac{81}{2} \cdot \frac{2}{-3} = -27$$

3. 最終的な答え

$\frac{\beta^2}{\alpha} + \frac{\alpha^2}{\beta} = -27$