与えられた条件の下で、根号を含む式を簡略化する問題です。具体的には、 (1) $a < 3$のとき、$\sqrt{a^2 - 6a + 9}$を簡略化する。 (2) $-\frac{1}{2} < a < 3$のとき、$2\sqrt{a^2 - 6a + 9} + \sqrt{4a^2 + 4a + 1}$を計算する。

1. 問題の内容

与えられた条件の下で、根号を含む式を簡略化する問題です。具体的には、

(1) $a < 3$のとき、$\sqrt{a^2 - 6a + 9}$を簡略化する。

(2) $-\frac{1}{2} < a < 3$のとき、$2\sqrt{a^2 - 6a + 9} + \sqrt{4a^2 + 4a + 1}$を計算する。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{a^2 - 6a + 9}$を簡略化します。

まず、$a^2 - 6a + 9$を因数分解します。

$a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2$

したがって、$\sqrt{a^2 - 6a + 9} = \sqrt{(a - 3)^2} = |a - 3|$

$a < 3$のとき、$a - 3 < 0$であるため、$|a - 3| = -(a - 3) = 3 - a$

(2) $2\sqrt{a^2 - 6a + 9} + \sqrt{4a^2 + 4a + 1}$を計算します。

$\sqrt{a^2 - 6a + 9}$については(1)で求めたように、$3 - a$となります。

次に、$\sqrt{4a^2 + 4a + 1}$を簡略化します。

$4a^2 + 4a + 1 = (2a + 1)^2$

したがって、$\sqrt{4a^2 + 4a + 1} = \sqrt{(2a + 1)^2} = |2a + 1|$

$-\frac{1}{2} < a < 3$のとき、$2a + 1 > 0$であるため、$|2a + 1| = 2a + 1$

したがって、

$2\sqrt{a^2 - 6a + 9} + \sqrt{4a^2 + 4a + 1} = 2(3 - a) + (2a + 1) = 6 - 2a + 2a + 1 = 7$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{a^2 - 6a + 9}$ を簡単にすると、$3 - a$

(2) $2\sqrt{a^2 - 6a + 9} + \sqrt{4a^2 + 4a + 1}$ を計算すると、$7$