多項式 $P(x)$ を $2x^2+9x-5$ で割ったときの余りが $3x+5$ であり、$x-2$ で割ったときの余りが $-3$ であるとき、$P(x)$ を $x^2+3x-10$ で割った余りを求める。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $2x^2+9x-5$ で割ったときの余りが $3x+5$ であり、$x-2$ で割ったときの余りが $-3$ であるとき、$P(x)$ を $x^2+3x-10$ で割った余りを求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件を式で表す。

$P(x)$ を $2x^2+9x-5$ で割ったときの商を $Q_1(x)$ とすると、

$P(x) = (2x^2+9x-5)Q_1(x) + 3x+5$

$P(x)$ を $x-2$ で割ったときの商を $Q_2(x)$ とすると、

$P(x) = (x-2)Q_2(x) -3$

ここで、$2x^2+9x-5$ を因数分解すると、

$2x^2+9x-5 = (2x-1)(x+5)$

したがって、

$P(x) = (2x-1)(x+5)Q_1(x) + 3x+5$

$x-2$ で割った余りが $-3$ なので、$P(2) = -3$ である。

求める余りは $ax+b$ とおくことができ、

$P(x) = (x^2+3x-10)Q_3(x) + ax+b$

$x^2+3x-10$ を因数分解すると、

$x^2+3x-10 = (x-2)(x+5)$

したがって、

$P(x) = (x-2)(x+5)Q_3(x) + ax+b$

$x=2$ を代入すると、

$P(2) = (2-2)(2+5)Q_3(2) + 2a+b = -3$

$2a+b=-3$

$P(x) = (2x-1)(x+5)Q_1(x) + 3x+5$ に $x=-5$ を代入すると、

$P(-5) = (2(-5)-1)(-5+5)Q_1(-5) + 3(-5)+5 = -15+5 = -10$

$P(-5) = -10$

$P(x) = (x-2)(x+5)Q_3(x) + ax+b$ に $x=-5$ を代入すると、

$P(-5) = (-5-2)(-5+5)Q_3(-5) -5a+b = -10$

$-5a+b = -10$

連立方程式を解く。

$2a+b=-3$

$-5a+b=-10$

上の式から下の式を引くと、

$7a=7$

$a=1$

$b = -3 - 2a = -3 - 2(1) = -5$

したがって、求める余りは $x-5$ である。

3. 最終的な答え

$x-5$