与えられた二次関数を $y = a(x - p)^2 + q$ の形に変形し、グラフの頂点の座標と軸の方程式を求める問題です。関数は以下の3つです。 (2) $y = -3x^2 - 6x$ (3) $y = -\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{3}{2}$ (4) $y = \frac{1}{3}x^2 + x + \frac{1}{2}$

1. 問題の内容

与えられた二次関数を $y = a(x - p)^2 + q$ の形に変形し、グラフの頂点の座標と軸の方程式を求める問題です。関数は以下の3つです。

(2) $y = -3x^2 - 6x$

(3) $y = -\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{3}{2}$

(4) $y = \frac{1}{3}x^2 + x + \frac{1}{2}$

2. 解き方の手順

(2) $y = -3x^2 - 6x$ の場合：

まず、$x^2$ の係数でくくります。

$y = -3(x^2 + 2x)$

次に、括弧の中を平方完成します。$x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1$ なので、

$y = -3((x + 1)^2 - 1)$

最後に、展開して整理します。

$y = -3(x + 1)^2 + 3$

よって、頂点の座標は $(-1, 3)$、軸の方程式は $x = -1$ です。

(3) $y = -\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{3}{2}$ の場合：

まず、$x^2$ の係数でくくります。

$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x) - \frac{3}{2}$

次に、括弧の中を平方完成します。$x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$ なので、

$y = -\frac{1}{2}((x - 1)^2 - 1) - \frac{3}{2}$

最後に、展開して整理します。

$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{2} - \frac{3}{2}$

$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 - 1$

よって、頂点の座標は $(1, -1)$、軸の方程式は $x = 1$ です。

(4) $y = \frac{1}{3}x^2 + x + \frac{1}{2}$ の場合：

まず、$x^2$ の係数でくくります。

$y = \frac{1}{3}(x^2 + 3x) + \frac{1}{2}$

次に、括弧の中を平方完成します。$x^2 + 3x = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$ なので、

$y = \frac{1}{3}((x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) + \frac{1}{2}$

最後に、展開して整理します。

$y = \frac{1}{3}(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{3}(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4}$

よって、頂点の座標は $(-\frac{3}{2}, -\frac{1}{4})$、軸の方程式は $x = -\frac{3}{2}$ です。

3. 最終的な答え

(2) 頂点の座標: $(-1, 3)$、軸の方程式: $x = -1$

(3) 頂点の座標: $(1, -1)$、軸の方程式: $x = 1$

(4) 頂点の座標: $(-\frac{3}{2}, -\frac{1}{4})$、軸の方程式: $x = -\frac{3}{2}$