ベクトル $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\mathbf{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ と行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ が与えられている。ベクトル $A\mathbf{a}$, $A\mathbf{b}$, $A\mathbf{c}$ によって作られる平行六面体の体積を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\mathbf{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ と行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ が与えられている。ベクトル $A\mathbf{a}$, $A\mathbf{b}$, $A\mathbf{c}$ によって作られる平行六面体の体積を求める。

2. 解き方の手順

平行六面体の体積は、それらを並べてできる行列の行列式の絶対値に等しい。

まず、$A\mathbf{a}$, $A\mathbf{b}$, $A\mathbf{c}$ を計算する。

$A\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

$A\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$A\mathbf{c} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

次に、これらのベクトルを列とする行列を作る。

$M = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

この行列の行列式を計算する。

$\det(M) = 2 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 2(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0) - 0 + 1(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = 2(-1) + 1(-1) = -2 - 1 = -3$

平行六面体の体積は、この行列式の絶対値である。

$V = |\det(M)| = |-3| = 3$

3. 最終的な答え

平行六面体の体積は3である。