与えられた式 $x^2 + 2xy - 8x - 14y + 7$ を因数分解できるかどうかを検討し、もし因数分解できるなら、その結果を求めます。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 2xy - 8x - 14y + 7$ を因数分解できるかどうかを検討し、もし因数分解できるなら、その結果を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた式は2変数（$x$と$y$）を含んでいます。因数分解を試みるために、式を適切にグループ化して共通因子を見つけることを目指します。

まず、$x$ に関する項と $y$ に関する項を分離してみます。

$x^2 + 2xy - 8x - 14y + 7$ を $x$ について整理すると、

$x^2 + (2y - 8)x - 14y + 7$

ここで、もしこの式が $(x+a)(x+b)$ のように因数分解できるとすれば、$a+b = 2y-8$ かつ $ab = -14y+7$ となるはずです。

$a$ と $b$ を見つけるのが難しいので、他の方法を試します。

$x^2 + 2xy$ の項に着目し、平方完成を試みます。$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ を利用すると、

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ より、$x^2 + 2xy = (x+y)^2 - y^2$

与えられた式に代入すると、

$(x+y)^2 - y^2 - 8x - 14y + 7$

ここで、$(x+y)$ の項と $x$ の項を組み合わせることを考えます。

$-(y^2 + 14y)$ の形があることに注目します。$y^2 + 14y + 49 = (y+7)^2$ なので、$y^2 + 14y = (y+7)^2 - 49$

与えられた式に適用すると、

$(x+y)^2 - ((y+7)^2 - 49) - 8x + 7 = (x+y)^2 - (y+7)^2 - 8x + 56$

$(x+y)^2 - (y+7)^2 = (x+y - (y+7))(x+y + (y+7)) = (x-7)(x+2y+7)$

よって、与えられた式は $(x-7)(x+2y+7) - 8x + 56$

$(x-7)(x+2y+7) - 8(x-7) = (x-7)(x+2y+7-8) = (x-7)(x+2y-1)$

3. 最終的な答え

$(x-7)(x+2y-1)$