3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 10 = 0$ が $2+i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 10 = 0$ が $2+i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 複素共役の定理より、$2+i$ が解ならば、$2-i$ も解である。

(2) もう一つの解を $\alpha$ とおくと、解と係数の関係より、

3つの解の和は $-a$、積は10である。したがって、

$$(2+i) + (2-i) + \alpha = -a$$

$$(2+i)(2-i)\alpha = 10$$

(3) 上の式より、

$$4+\alpha = -a$$

$$(4-i^2)\alpha = 10$$

$$5\alpha = 10$$

よって $\alpha = 2$。

(4) $\alpha = 2$ を $4+\alpha = -a$ に代入すると、 $4+2 = -a$ より $a = -6$。

(5) 解と係数の関係より、

$$(2+i)(2-i) + (2+i)\alpha + (2-i)\alpha = b$$

$$(4-i^2) + 2\alpha + i\alpha + 2\alpha - i\alpha = b$$

$$5 + 4\alpha = b$$

(6) $\alpha = 2$ を代入すると、 $5 + 4(2) = b$ より $b = 13$。

3. 最終的な答え

$a = -6$, $b = 13$, 他の解は $2-i, 2$