問題は、方程式 $x^3 = 8$ の解が $x = 2, 2w, 2w^2$ であることを証明することです。ただし、$w$ は1の立方根（虚数解）の一つです。

1. 問題の内容

問題は、方程式 $x^3 = 8$ の解が $x = 2, 2w, 2w^2$ であることを証明することです。ただし、$w$ は1の立方根（虚数解）の一つです。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 = 8$ を変形します。

$x^3 - 8 = 0$

$x^3 - 2^3 = 0$

次に、因数分解の公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を使って因数分解します。

$(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0$

したがって、$x - 2 = 0$ または $x^2 + 2x + 4 = 0$ です。

$x - 2 = 0$ から、$x = 2$ が得られます。

次に、$x^2 + 2x + 4 = 0$ を解きます。解の公式を使います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

この場合、$a=1$, $b=2$, $c=4$ なので、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2}$

$x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{-3}}{2}$

$x = -1 \pm \sqrt{-3}$

$x = -1 \pm i\sqrt{3}$

ここで、$w = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ とすると、$w^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$ となります。

（実際に計算すると、$w^2 = (\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1 - 2i\sqrt{3} - 3}{4} = \frac{-2 - 2i\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$）

したがって、$x = -1 \pm i\sqrt{3} = 2 (\frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2})$ と書けます。

つまり、$x = 2w$ または $x = 2w^2$ です。

これで、$x^3 = 8$ の解が $x = 2, 2w, 2w^2$ であることが示されました。

3. 最終的な答え

方程式 $x^3 = 8$ の解は、$x = 2, 2w, 2w^2$ です。