軸が $x=2$ である放物線が、点 $(0, -1)$ と点 $(5, -6)$ を通る。この放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

軸が $x=2$ である放物線が、点 $(0, -1)$ と点 $(5, -6)$ を通る。この放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

軸が $x=2$ であることから、放物線の方程式は $y = a(x-2)^2 + q$ と表せる。ここで、$a$ と $q$ は定数である。

この放物線が点 $(0, -1)$ と点 $(5, -6)$ を通ることから、これらの点の座標を方程式に代入して $a$ と $q$ についての連立方程式を立てる。

点 $(0, -1)$ を代入すると、

$-1 = a(0-2)^2 + q$

$-1 = 4a + q$ ...(1)

点 $(5, -6)$ を代入すると、

$-6 = a(5-2)^2 + q$

$-6 = 9a + q$ ...(2)

(2) - (1) より、

$-6 - (-1) = 9a + q - (4a + q)$

$-5 = 5a$

$a = -1$

$a = -1$ を (1) に代入すると、

$-1 = 4(-1) + q$

$-1 = -4 + q$

$q = 3$

したがって、放物線の方程式は $y = -(x-2)^2 + 3$ となる。

これを展開すると、

$y = -(x^2 - 4x + 4) + 3$

$y = -x^2 + 4x - 4 + 3$

$y = -x^2 + 4x - 1$

3. 最終的な答え

$y = -x^2 + 4x - 1$