3点 $(-1, 4)$, $(3, 5)$, $(1, 0)$ を通る放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

3点 $(-1, 4)$, $(3, 5)$, $(1, 0)$ を通る放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

求める放物線の方程式を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

与えられた3点の座標をそれぞれ代入すると、次の3つの式が得られる。

* $(-1, 4)$ より、$4 = a(-1)^2 + b(-1) + c$ すなわち $a - b + c = 4$

* $(3, 5)$ より、$5 = a(3)^2 + b(3) + c$ すなわち $9a + 3b + c = 5$

* $(1, 0)$ より、$0 = a(1)^2 + b(1) + c$ すなわち $a + b + c = 0$

これらの式を連立方程式として解く。

まず、$a - b + c = 4$ (1式) と $a + b + c = 0$ (3式) を足し合わせると、

$2a + 2c = 4$ より $a + c = 2$ となり $c = 2 - a$ (4式) が得られる。

次に、$a + b + c = 0$ より $b = -a - c$ である。これを4式を用いて $b = -a - (2 - a)$ と変形すると $b = -2$ が得られる。

次に、(1式) $a - b + c = 4$ に $b = -2$ と $c = 2 - a$ を代入すると、

$a - (-2) + (2 - a) = 4$

$a + 2 + 2 - a = 4$

$4 = 4$ となり、これは常に成り立つ。

(2式) $9a + 3b + c = 5$ に $b = -2$ と $c = 2 - a$ を代入すると、

$9a + 3(-2) + (2 - a) = 5$

$9a - 6 + 2 - a = 5$

$8a - 4 = 5$

$8a = 9$

$a = \frac{9}{8}$

次に、$c = 2 - a$ に $a = \frac{9}{8}$ を代入すると、$c = 2 - \frac{9}{8} = \frac{16}{8} - \frac{9}{8} = \frac{7}{8}$

したがって、$a = \frac{9}{8}, b = -2, c = \frac{7}{8}$ となる。

3. 最終的な答え

よって、求める放物線の方程式は $y = \frac{9}{8}x^2 - 2x + \frac{7}{8}$

あるいは $y = \frac{9x^2 - 16x + 7}{8}$

あるいは $8y = 9x^2 - 16x + 7$