以下の条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) 頂点が$(1, -2)$で、点$(2, -3)$を通る。 (2) 頂点が$(-4, -1)$で、点$(-6, 7)$を通る。 (3) 軸が直線$x = 2$で、2点$(2, 3), (6, -5)$を通る。 (4) 軸が直線$x = -3$で、2点$(0, 9), (-2, -7)$を通る。

はい、承知いたしました。問題に取り組みます。

1. 問題の内容

以下の条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) 頂点が$(1, -2)$で、点$(2, -3)$を通る。

(2) 頂点が$(-4, -1)$で、点$(-6, 7)$を通る。

(3) 軸が直線$x = 2$で、2点$(2, 3), (6, -5)$を通る。

(4) 軸が直線$x = -3$で、2点$(0, 9), (-2, -7)$を通る。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が$(1, -2)$であることから、求める2次関数は

$y = a(x - 1)^2 - 2$

と表せる。これが点$(2, -3)$を通ることから、

$-3 = a(2 - 1)^2 - 2$

$-3 = a - 2$

$a = -1$

よって、求める2次関数は $y = -(x - 1)^2 - 2 = -(x^2 - 2x + 1) - 2 = -x^2 + 2x - 1 - 2 = -x^2 + 2x - 3$

(2) 頂点が$(-4, -1)$であることから、求める2次関数は

$y = a(x + 4)^2 - 1$

と表せる。これが点$(-6, 7)$を通ることから、

$7 = a(-6 + 4)^2 - 1$

$7 = a(-2)^2 - 1$

$7 = 4a - 1$

$8 = 4a$

$a = 2$

よって、求める2次関数は $y = 2(x + 4)^2 - 1 = 2(x^2 + 8x + 16) - 1 = 2x^2 + 16x + 32 - 1 = 2x^2 + 16x + 31$

(3) 軸が直線$x = 2$であることから、求める2次関数は

$y = a(x - 2)^2 + q$

と表せる。これが点$(2, 3)$を通ることから、$3 = a(2 - 2)^2 + q$より$q = 3$

よって、$y = a(x - 2)^2 + 3$

また、点$(6, -5)$を通ることから、

$-5 = a(6 - 2)^2 + 3$

$-5 = 16a + 3$

$-8 = 16a$

$a = -\frac{1}{2}$

よって、求める2次関数は $y = -\frac{1}{2}(x - 2)^2 + 3 = -\frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4) + 3 = -\frac{1}{2}x^2 + 2x - 2 + 3 = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1$

(4) 軸が直線$x = -3$であることから、求める2次関数は

$y = a(x + 3)^2 + q$

と表せる。これが点$(0, 9)$を通ることから、$9 = a(0 + 3)^2 + q$より$9 = 9a + q$

また、点$(-2, -7)$を通ることから、$-7 = a(-2 + 3)^2 + q$より$-7 = a + q$

2つの式から$q$を消去すると、$9 - 9a = -7 - a$

$16 = 8a$

$a = 2$

$q = -7 - a = -7 - 2 = -9$

よって、求める2次関数は $y = 2(x + 3)^2 - 9 = 2(x^2 + 6x + 9) - 9 = 2x^2 + 12x + 18 - 9 = 2x^2 + 12x + 9$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x^2 + 2x - 3$

(2) $y = 2x^2 + 16x + 31$

(3) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1$

(4) $y = 2x^2 + 12x + 9$