行列 $A = \begin{bmatrix} 3 & k \\ k & 4 \end{bmatrix}$ の行列式が0となるような $k$ の値を求め、$k = a\sqrt{b}$ と $k=c\sqrt{d}$ の形式で表す。ただし、$a, b, c, d$ は整数であり、$a > c$, $b \ge 0$, $d \ge 0$ とし、$b$ と $d$ はできるだけ小さい整数にする。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 3 & k \\ k & 4 \end{bmatrix}$ の行列式が0となるような $k$ の値を求め、$k = a\sqrt{b}$ と $k=c\sqrt{d}$ の形式で表す。ただし、$a, b, c, d$ は整数であり、$a > c$, $b \ge 0$, $d \ge 0$ とし、$b$ と $d$ はできるだけ小さい整数にする。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の行列式を計算する。行列式は、対角成分の積の差で求められる。

$\det(A) = (3)(4) - (k)(k) = 12 - k^2$

問題文より、行列式が0となる $k$ の値を求める。

$12 - k^2 = 0$

$k^2 = 12$

$k = \pm\sqrt{12}$

$k = \pm\sqrt{4 \cdot 3} = \pm 2\sqrt{3}$

したがって、$k = 2\sqrt{3}$ または $k = -2\sqrt{3}$ となる。

求める形式 $k = a\sqrt{b}$ と $k = c\sqrt{d}$ に対応させると、

$k = 2\sqrt{3}$ の場合、$a = 2$, $b = 3$

$k = -2\sqrt{3}$ の場合、$c = -2$, $d = 3$

問題文の条件 $a > c$, $b \ge 0$, $d \ge 0$ を満たしている。

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = 3$, $c = -2$, $d = 3$