与えられた分数の分母を有理化する問題です。具体的には、分数 $\frac{8}{7+3\sqrt{5}}$ の分母を有理化します。

代数学分数有理化平方根計算

2025/7/13

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。具体的には、分数

\frac{8}{7+3\sqrt{5}}

の分母を有理化します。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、

7+3\sqrt{5}

の共役な複素数

7-3\sqrt{5}

を分母と分子に掛けます。

\frac{8}{7+3\sqrt{5}} = \frac{8(7-3\sqrt{5})}{(7+3\sqrt{5})(7-3\sqrt{5})}

次に、分母を展開します。

(7+3\sqrt{5})(7-3\sqrt{5}) = 7^2 - (3\sqrt{5})^2 = 49 - 9 \times 5 = 49 - 45 = 4

したがって、

\frac{8(7-3\sqrt{5})}{4} = 2(7-3\sqrt{5})

これを展開して最終的な答えを得ます。

2(7-3\sqrt{5}) = 14 - 6\sqrt{5}

3. 最終的な答え

14 - 6\sqrt{5}

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