$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ が与えられたとき、以下の問題を解きます。 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にします。 (2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求め、また $a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めます。 (3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ が与えられたとき、以下の問題を解きます。

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にします。

(2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求め、また $a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めます。

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化します。分母の共役な複素数である $3\sqrt{2} + \sqrt{10}$ を分子と分母にかけます。

$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{(3\sqrt{2} - \sqrt{10})(3\sqrt{2} + \sqrt{10})} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{18 - 10} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求めます。

$a = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$ より $\frac{2}{a} = \frac{4}{3\sqrt{2} + \sqrt{10}} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{(3\sqrt{2} + \sqrt{10})(3\sqrt{2} - \sqrt{10})} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{18 - 10} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$

よって、

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

次に、$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めます。

$(a + \frac{2}{a})^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{2}{a} + \frac{4}{a^2} = a^2 + 4 + \frac{4}{a^2}$

$a^2 + \frac{4}{a^2} = (a + \frac{2}{a})^2 - 4$

$a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$ であるから、

$a^2 + \frac{4}{a^2} = (3\sqrt{2})^2 - 4 = 18 - 4 = 14$

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めます。

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = (a^2)^2 - (\frac{4}{a^2})^2 - 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{a^2} - (\frac{4}{a^2})^2 -1 = (a^2 - \frac{4}{a^2})^2 - \frac{8}{a^2}-1$

$(a^2 + \frac{4}{a^2}) = 14$ であり、$a^2 - \frac{4}{a^2} = (a+\frac{2}{a})(a-\frac{2}{a})$ と変形できることを利用します。

$(a - \frac{2}{a})^2 = a^2 - 4 + \frac{4}{a^2}$

$a^2 + \frac{4}{a^2} = 14$ なので、$a^2 - 4 + \frac{4}{a^2} = 14-8=10$

$a - \frac{2}{a} = \pm\sqrt{10}$.

$a^2 - \frac{4}{a^2} = (a + \frac{2}{a})(a - \frac{2}{a}) = 3\sqrt{2} \cdot (\pm\sqrt{10}) = \pm 3\sqrt{20} = \pm 6\sqrt{5}$

$(a^2 - \frac{4}{a^2})^2 = (6\sqrt{5})^2 = 36 \cdot 5 = 180$

$\frac{8}{a^2} = \frac{8}{ \frac{(3\sqrt{2}+\sqrt{10})^2}{4}} = \frac{32}{18 + 6\sqrt{20} +10} = \frac{32}{28+12\sqrt{5}} = \frac{8}{7+3\sqrt{5}} = \frac{8(7-3\sqrt{5})}{49-45} = \frac{8(7-3\sqrt{5})}{4} = 2(7-3\sqrt{5}) = 14-6\sqrt{5}$

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = (a^2 - \frac{4}{a^2})(a^2 + \frac{4}{a^2}) - \frac{8}{a^2} - 1 = \pm 6\sqrt{5} \cdot 14 - 14+6\sqrt{5}-1 = \pm 84\sqrt{5} - 15 + 6\sqrt{5} = -15 + 90\sqrt{5}$ or $-15-78\sqrt{5}$

別の解き方：

$(a^2+\frac{4}{a^2})^2 = a^4 + 8 + \frac{16}{a^4} = 14^2 = 196$

$a^4+\frac{16}{a^4} = 188$

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = a^4+\frac{16}{a^4} - \frac{32}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = 188-\frac{8}{a^2}(4/a^2+1) - 1= 187 - 8/a^2*(4/a^2+1)$

$(a^2-\frac{4}{a^2})^2 = a^4+\frac{16}{a^4} -8 = 188-8 = 180$

よって、 $a^2 - \frac{4}{a^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$ または $-6\sqrt{5}$

よって，$a^4-\frac{16}{a^4}-\frac{8}{a^2}-1 =(a^2-\frac{4}{a^2})(a^2+\frac{4}{a^2})-\frac{8}{a^2}-1 = 6\sqrt{5}\cdot 14 -\frac{8}{a^2}-1 =84\sqrt{5}-\frac{8}{a^2}-1$

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = (a^2 - \frac{4}{a^2})(a^2 + \frac{4}{a^2}) - \frac{8}{a^2} - 1=3\sqrt{2}(\sqrt{10}) *14 - 14+6\sqrt{5}-1= 84 \sqrt{5} -(14 - 6\sqrt{5}) -1 =-15+90\sqrt{5} =$

$6\sqrt{5}\times 14-14+6\sqrt{5}-1=90\sqrt{5}-15$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$, $a^2 + \frac{4}{a^2} = 14$

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = -15+90\sqrt{5}$