(2) $x + \frac{1}{x} = 4$ のとき、次の値を求めよ。 (i) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (ii) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ (3) $x+y+z=3$, $xy+yz+zx=4$, $xyz=5$ のとき、次の値を求めよ。 (i) $x^2+y^2+z^2$ (ii) $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2$

1. 問題の内容

(2) $x + \frac{1}{x} = 4$ のとき、次の値を求めよ。

(i) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(ii) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

(3) $x+y+z=3$, $xy+yz+zx=4$, $xyz=5$ のとき、次の値を求めよ。

(i) $x^2+y^2+z^2$

(ii) $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2$

2. 解き方の手順

(2) (i)

与えられた式 $x + \frac{1}{x} = 4$ の両辺を2乗する。

$(x + \frac{1}{x})^2 = 4^2$

$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 16$

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 16$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 16 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 14$

(2) (ii)

与えられた式 $x + \frac{1}{x} = 4$ の両辺を3乗する。

$(x + \frac{1}{x})^3 = 4^3$

$x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} = 64$

$x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = 64$

$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x}) = 64$

$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(4) = 64$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 64 - 12$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 52$

(3) (i)

$(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)$ の公式を利用する。

$x+y+z=3$ より $(x+y+z)^2 = 3^2 = 9$

$xy+yz+zx=4$ より $2(xy+yz+zx) = 2(4) = 8$

$x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx) = 9 - 8 = 1$

(3) (ii)

$(xy+yz+zx)^2 = (xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2 + 2(xy^2z + xyz^2 + x^2yz)$

$(xy+yz+zx)^2 = x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + 2xyz(x+y+z)$

$x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = (xy+yz+zx)^2 - 2xyz(x+y+z)$

$x+y+z = 3$, $xy+yz+zx = 4$, $xyz = 5$ を代入する。

$x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = (4)^2 - 2(5)(3)$

$x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = 16 - 30$

$x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = -14$

3. 最終的な答え

(2) (i) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 14$

(2) (ii) $x^3 + \frac{1}{x^3} = 52$

(3) (i) $x^2+y^2+z^2 = 1$

(3) (ii) $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 = -14$