行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} -1 & -5 \\ 1 & -7 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の問題を解きます。 (1) $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求めよ。 (2) $YA = B$ を満たす行列 $Y$ を求めよ。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} -1 & -5 \\ 1 & -7 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の問題を解きます。

(1) $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求めよ。

(2) $YA = B$ を満たす行列 $Y$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求める。

まず、行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めます。

$A = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ なので、

$\det(A) = (4 \times 3) - (5 \times 2) = 12 - 10 = 2$ です。

したがって、$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$ となります。

$AX = B$ の両辺に左から $A^{-1}$ を掛けると、

$A^{-1}AX = A^{-1}B$

$IX = A^{-1}B$

$X = A^{-1}B$

したがって、$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -5 \\ 1 & -7 \end{pmatrix}$

$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} (3 \times -1) + (-5 \times 1) & (3 \times -5) + (-5 \times -7) \\ (-2 \times -1) + (4 \times 1) & (-2 \times -5) + (4 \times -7) \end{pmatrix}$

$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -3 - 5 & -15 + 35 \\ 2 + 4 & 10 - 28 \end{pmatrix}$

$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -8 & 20 \\ 6 & -18 \end{pmatrix}$

$X = \begin{pmatrix} -4 & 10 \\ 3 & -9 \end{pmatrix}$

(2) $YA = B$ を満たす行列 $Y$ を求める。

$YA = B$ の両辺に右から $A^{-1}$ を掛けると、

$YAA^{-1} = BA^{-1}$

$YI = BA^{-1}$

$Y = BA^{-1}$

したがって、$Y = \begin{pmatrix} -1 & -5 \\ 1 & -7 \end{pmatrix} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$

$Y = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} (-1 \times 3) + (-5 \times -2) & (-1 \times -5) + (-5 \times 4) \\ (1 \times 3) + (-7 \times -2) & (1 \times -5) + (-7 \times 4) \end{pmatrix}$

$Y = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -3 + 10 & 5 - 20 \\ 3 + 14 & -5 - 28 \end{pmatrix}$

$Y = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 7 & -15 \\ 17 & -33 \end{pmatrix}$

$Y = \begin{pmatrix} \frac{7}{2} & -\frac{15}{2} \\ \frac{17}{2} & -\frac{33}{2} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $X = \begin{pmatrix} -4 & 10 \\ 3 & -9 \end{pmatrix}$

(2) $Y = \begin{pmatrix} \frac{7}{2} & -\frac{15}{2} \\ \frac{17}{2} & -\frac{33}{2} \end{pmatrix}$