$a$ を定数とする。関数 $y = x^2 - 6ax + a^2 - 1$ $(0 \leq x \leq 2)$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。関数 $y = x^2 - 6ax + a^2 - 1$ $(0 \leq x \leq 2)$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

関数 $y = x^2 - 6ax + a^2 - 1$ を平方完成すると、

$$y = (x - 3a)^2 - 9a^2 + a^2 - 1 = (x - 3a)^2 - 8a^2 - 1$$

したがって、この関数のグラフは、軸が $x = 3a$、頂点が $(3a, -8a^2 - 1)$ の下に凸な放物線である。

定義域 $0 \leq x \leq 2$ における最小値を求めるには、軸 $x = 3a$ の位置によって場合分けをする。

(i) $3a < 0$、つまり $a < 0$ のとき

このとき、定義域 $0 \leq x \leq 2$ において、関数は単調減少なので、$x = 2$ で最小値をとる。

最小値は $y = 2^2 - 6a(2) + a^2 - 1 = a^2 - 12a + 3$

(ii) $0 \leq 3a \leq 2$、つまり $0 \leq a \leq \frac{2}{3}$ のとき

このとき、定義域 $0 \leq x \leq 2$ において、関数は $x = 3a$ で最小値をとる。

最小値は $y = -8a^2 - 1$

(iii) $2 < 3a$、つまり $\frac{2}{3} < a$ のとき

このとき、定義域 $0 \leq x \leq 2$ において、関数は単調増加なので、$x = 0$ で最小値をとる。

最小値は $y = 0^2 - 6a(0) + a^2 - 1 = a^2 - 1$

3. 最終的な答え

$a < 0$ のとき、最小値は $a^2 - 12a + 3$

$0 \leq a \leq \frac{2}{3}$ のとき、最小値は $-8a^2 - 1$

$\frac{2}{3} < a$ のとき、最小値は $a^2 - 1$