したがって、$x + 1$ は与えられた式の因数であることがわかります。

## 問題の内容

与えられた2つの3次式を因数分解する問題です。

(1) $x^3 - 4x^2 + x + 6$

(2) $2x^3 - 5x^2 + 5x + 4$

## 解き方の手順

### (1) $x^3 - 4x^2 + x + 6$ の因数分解

1. **因数定理の利用:** まず、与えられた3次式に $x$ の値を代入して、式が0になるような $x$ の値（つまり、式の根）を探します。 $x = -1$ を代入すると、$(-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$ となるので、$x = -1$ はこの式の根の一つです。

したがって、$x + 1$ は与えられた式の因数であることがわかります。

2. **多項式の割り算:** $x^3 - 4x^2 + x + 6$ を $x + 1$ で割ります。

実際に割り算を行うと、次のようになります。

$x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x + 1)(x^2 - 5x + 6)$

3. **2次式の因数分解:** $x^2 - 5x + 6$ を因数分解します。

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

4. **全体の因数分解:** したがって、$x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x + 1)(x - 2)(x - 3)$ となります。

### (2) $2x^3 - 5x^2 + 5x + 4$ の因数分解

1. **因数定理の利用:** まず、与えられた3次式に $x$ の値を代入して、式が0になるような $x$ の値を探します。

$x = -0.5 = -\frac{1}{2}$ を代入すると、$2(-\frac{1}{2})^3 - 5(-\frac{1}{2})^2 + 5(-\frac{1}{2}) + 4 = -\frac{1}{4} - \frac{5}{4} - \frac{5}{2} + 4 = -\frac{6}{4} -\frac{10}{4} + \frac{16}{4} = 0$ となるので、$x = -1/2$ はこの式の根の一つです。 したがって、$2x + 1$ は与えられた式の因数であることがわかります。

2. **多項式の割り算:** $2x^3 - 5x^2 + 5x + 4$ を $2x + 1$ で割ります。

$2x^3 - 5x^2 + 5x + 4 = (2x + 1)(x^2 - 3x + 4)$

3. **2次式の因数分解:** $x^2 - 3x + 4$ を因数分解しようと試みますが、判別式が$D = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 9 - 16 = -7 < 0$であるため、実数の範囲では因数分解できません。

4. **全体の因数分解:** したがって、$2x^3 - 5x^2 + 5x + 4 = (2x + 1)(x^2 - 3x + 4)$ となります。

## 最終的な答え

(1) $(x + 1)(x - 2)(x - 3)$

(2) $(2x + 1)(x^2 - 3x + 4)$