ベクトル $\vec{a} = (2, x)$ と $\vec{b} = (x+1, 3)$ が与えられています。 (1) $2\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} - 2\vec{b}$ が垂直になるような $x$ の値を求めます。 (2) $2\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} - 2\vec{b}$ が平行になるような $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, x)$ と $\vec{b} = (x+1, 3)$ が与えられています。

(1) $2\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} - 2\vec{b}$ が垂直になるような $x$ の値を求めます。

(2) $2\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} - 2\vec{b}$ が平行になるような $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$2\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} - 2\vec{b}$ を計算します。

$2\vec{a} + \vec{b} = 2(2, x) + (x+1, 3) = (4, 2x) + (x+1, 3) = (4+x+1, 2x+3) = (x+5, 2x+3)$

$\vec{a} - 2\vec{b} = (2, x) - 2(x+1, 3) = (2, x) - (2x+2, 6) = (2-2x-2, x-6) = (-2x, x-6)$

2つのベクトルが垂直である条件は、内積が0になることです。

$(2\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = 0$

$(x+5, 2x+3) \cdot (-2x, x-6) = 0$

$-2x(x+5) + (2x+3)(x-6) = 0$

$-2x^2 - 10x + 2x^2 -12x + 3x - 18 = 0$

$-19x - 18 = 0$

$-19x = 18$

$x = -\frac{18}{19}$

(2)

$2\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} - 2\vec{b}$ が平行である条件は、一方のベクトルがもう一方のベクトルの定数倍になることです。つまり、ある定数$k$が存在して、

$2\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - 2\vec{b})$ が成り立ちます。

$(x+5, 2x+3) = k(-2x, x-6)$

$x+5 = -2kx$

$2x+3 = k(x-6)$

$k = \frac{x+5}{-2x}$

$k = \frac{2x+3}{x-6}$

$\frac{x+5}{-2x} = \frac{2x+3}{x-6}$

$(x+5)(x-6) = -2x(2x+3)$

$x^2 - 6x + 5x - 30 = -4x^2 - 6x$

$x^2 - x - 30 = -4x^2 - 6x$

$5x^2 + 5x - 30 = 0$

$x^2 + x - 6 = 0$

$(x+3)(x-2) = 0$

$x = -3, 2$

3. 最終的な答え

(1) $x = -\frac{18}{19}$

(2) $x = -3, 2$