与えられた式 $x^4 + 2x^2 + 9$ を因数分解せよ。

代数学因数分解多項式平方完成
2025/7/12

1. 問題の内容

与えられた式 x4+2x2+9x^4 + 2x^2 + 9 を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を x4+6x2+94x2x^4 + 6x^2 + 9 - 4x^2 と変形する。これは平方完成の考え方を利用する。
x4+6x2+9x^4 + 6x^2 + 9(x2+3)2(x^2 + 3)^2 と表せる。
したがって、与えられた式は (x2+3)24x2(x^2 + 3)^2 - 4x^2 となる。
これは二乗の差の形をしているので、因数分解の公式 a2b2=(a+b)(ab)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) を適用できる。
ここで a=x2+3a = x^2 + 3 および b=2xb = 2x である。
したがって、
(x2+3)24x2=(x2+3+2x)(x2+32x)(x^2 + 3)^2 - 4x^2 = (x^2 + 3 + 2x)(x^2 + 3 - 2x)
=(x2+2x+3)(x22x+3) = (x^2 + 2x + 3)(x^2 - 2x + 3)
となる。

3. 最終的な答え

(x2+2x+3)(x22x+3)(x^2 + 2x + 3)(x^2 - 2x + 3)

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