集合Aと集合Bが与えられており、$A = \{2, 4, a^3-3a^2+9\}$、$B = \{-2, a+2, a^2-2a+1, a^3+a^2+3a-13\}$である。$A \cap B = \{4, 5\}$という条件のもとで、$a$の値を求め、そのときの$A \cup B$を求める問題である。

1. 問題の内容

集合Aと集合Bが与えられており、$A = \{2, 4, a^3-3a^2+9\}$、$B = \{-2, a+2, a^2-2a+1, a^3+a^2+3a-13\}$である。$A \cap B = \{4, 5\}$という条件のもとで、$a$の値を求め、そのときの$A \cup B$を求める問題である。

2. 解き方の手順

まず、$A \cap B = \{4, 5\}$より、$5 \in A$かつ$5 \in B$である。

$A$において、$2, 4$以外の要素は$a^3-3a^2+9$なので、

$a^3 - 3a^2 + 9 = 5$

$a^3 - 3a^2 + 4 = 0$

$(a-1)(a^2-2a-4)=0$

$a=1$または$a^2-2a-4=0$

$a = 1, 1 \pm \sqrt{5}$

次に、$B$において、$5 \in B$を考える。

(1) $a+2 = 5$のとき、$a = 3$。

(2) $a^2 - 2a + 1 = 5$のとき、$a^2 - 2a - 4 = 0$。これは$a = 1 \pm \sqrt{5}$を満たす。

(3) $a^3 + a^2 + 3a - 13 = 5$のとき、$a^3 + a^2 + 3a - 18 = 0$。

$a=2$のとき、$8+4+6-18 = 0$なので、$a=2$はこの方程式を満たす。

$(a-2)(a^2+3a+9)=0$

$a=2$または$a=\frac{-3 \pm \sqrt{9-36}}{2} = \frac{-3 \pm 3i\sqrt{3}}{2}$.

$A \cap B = \{4, 5\}$となる$a$を探す。

(i) $a=1$のとき、$A = \{2, 4, 1-3+9\} = \{2, 4, 7\}$、$B = \{-2, 3, 0, 1+1+3-13\} = \{-2, 3, 0, -8\}$.

$A \cap B = \emptyset$なので、$a=1$は不適。

(ii) $a=3$のとき、$A = \{2, 4, 27-27+9\} = \{2, 4, 9\}$、$B = \{-2, 5, 4, 27+9+9-13\} = \{-2, 5, 4, 32\}$.

$A \cap B = \{4\}$. 5が含まれないので、$a=3$は不適。

(iii) $a=2$のとき、$A=\{2,4,8-12+9\} = \{2,4,5\}, B=\{-2, 4, 1, 8+4+6-13\} = \{-2, 4, 1, 5\}$

$A \cap B = \{4,5\}$なので、$a=2$は適する。

$A \cup B = \{-2, 1, 2, 4, 5\}$

したがって、$a=2$のとき、$A \cap B = \{4, 5\}$であり、$A \cup B = \{-2, 1, 2, 4, 5\}$である。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$A \cup B = \{-2, 1, 2, 4, 5\}$