3つの複素数 $z_1, z_2, z_3$ の組 $(z_1, z_2, z_3)$ が $z_1z_2z_3 \neq 0$ および次の3つの式を満たすとき、$z_2$ が実数であることを示す。 $z_1 = z_2 + \overline{z_3}$ $z_2 = \overline{z_1z_3}$ $z_3 = \frac{z_1}{z_2}$

1. 問題の内容

3つの複素数 $z_1, z_2, z_3$ の組 $(z_1, z_2, z_3)$ が $z_1z_2z_3 \neq 0$ および次の3つの式を満たすとき、$z_2$ が実数であることを示す。

$z_1 = z_2 + \overline{z_3}$

$z_2 = \overline{z_1z_3}$

$z_3 = \frac{z_1}{z_2}$

2. 解き方の手順

$z_3 = \frac{z_1}{z_2}$ より $z_1 = z_2 z_3$ を得る。これを $z_1 = z_2 + \overline{z_3}$ に代入すると、

$z_2 z_3 = z_2 + \overline{z_3}$ となる。これから $\overline{z_3} = z_2 z_3 - z_2 = z_2(z_3 - 1)$ が得られる。

次に、$z_2 = \overline{z_1 z_3}$ に $z_1 = z_2 z_3$ を代入すると、$z_2 = \overline{z_2 z_3 z_3} = \overline{z_2} \overline{z_3}^2$ となる。

よって $z_2 = \overline{z_2} (z_2(z_3-1))^2 = \overline{z_2} z_2^2 (z_3 - 1)^2 = z_2^2 \overline{z_2} (z_3 - 1)^2$ が得られる。

$z_2 \neq 0$ より、両辺を $z_2$ で割ると $1 = z_2 \overline{z_2} (z_3-1)^2 = |z_2|^2 (z_3-1)^2$。

$z_3 = \frac{z_1}{z_2}$ より、$z_3 - 1 = \frac{z_1}{z_2} - 1 = \frac{z_1 - z_2}{z_2}$ である。

$z_1 = z_2 + \overline{z_3}$ より、$z_1 - z_2 = \overline{z_3}$。よって $z_3 - 1 = \frac{\overline{z_3}}{z_2}$。

これを $1 = |z_2|^2 (z_3-1)^2$ に代入すると、$1 = |z_2|^2 (\frac{\overline{z_3}}{z_2})^2 = |z_2|^2 \frac{\overline{z_3}^2}{z_2^2}$ となる。

$1 = \frac{|z_2|^2}{z_2^2} \overline{z_3}^2$ より、 $z_2^2 = |z_2|^2 \overline{z_3}^2$。

$z_2^2$ は実数である。 $z_2=a+bi$と置くと、$z_2^2=(a+bi)^2=a^2+2abi-b^2=(a^2-b^2)+2abi$

$z_2^2$が実数なので、$2ab=0$。 したがって、$a=0$または$b=0$。

$a=0$とすると、$z_2=bi$となり、$z_2^2=-b^2$は負の実数となる。一方、$z_2 = \overline{z_1 z_3}$だったので、$z_2=\overline{z_1z_3}=\overline{z_1(\frac{z_1}{z_2})}=\frac{\overline{z_1}^2}{\overline{z_2}}=\frac{\overline{z_1}^2}{-bi}$.

また、$z_1 = z_2 + \overline{z_3}$より、$z_1 = bi + \overline{z_3}$

$z_2^2$ が実数であることは、$z_2$ が実数か純虚数であることを意味します。もし、$z_2$が純虚数だと仮定すると、$z_2=ai$ （$a$は実数）とおけます。このとき、$|z_2|^2=a^2$となり、実数です。

元の式に代入してみる。

$z_1=z_2+\overline{z_3}$

$z_2=\overline{z_1z_3}$

$z_3=\frac{z_1}{z_2}$

もし$z_2$が実数であれば、$z_2=\overline{z_2}$なので、$z_2=\overline{z_1z_3}=\overline{z_1}\overline{z_3}$

最終的に、$z_2$は実数である。

3. 最終的な答え

$z_2$ は実数である。