関数 $y = 3x^2 - 6ax + 2$ (定義域 $0 \le x \le 2$) の最大値と最小値を、$a$ が以下の範囲にある場合にそれぞれ求める問題です。 (1) $a < 0$ (2) $0 \le a < 1$ (3) $a = 1$ (4) $1 < a \le 2$ (5) $a > 2$

1. 問題の内容

関数 $y = 3x^2 - 6ax + 2$ (定義域 $0 \le x \le 2$) の最大値と最小値を、$a$ が以下の範囲にある場合にそれぞれ求める問題です。

(1) $a < 0$

(2) $0 \le a < 1$

(3) $a = 1$

(4) $1 < a \le 2$

(5) $a > 2$

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = 3x^2 - 6ax + 2 = 3(x^2 - 2ax) + 2 = 3(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 2 = 3(x - a)^2 - 3a^2 + 2$

したがって、$y = 3(x-a)^2 - 3a^2 + 2$ となります。

軸は $x=a$ です。定義域は $0 \le x \le 2$ です。

(1) $a < 0$ のとき、軸は定義域の左側にあります。

このとき、$x=0$ で最大値、 $x=2$ で最小値をとります。

$x=0$ のとき $y = 3(0)^2 - 6a(0) + 2 = 2$

$x=2$ のとき $y = 3(2)^2 - 6a(2) + 2 = 12 - 12a + 2 = 14 - 12a$

最大値: 2, 最小値: $14 - 12a$

(2) $0 \le a < 1$ のとき、軸は定義域内にあります。

このとき、$x=0$ で最大値、$x=2$ で最大値、$x=a$で最小値をとります。

$x=0$ のとき $y = 2$

$x=2$ のとき $y = 14-12a$

$y(0)-y(2) = 2-(14-12a)=12a-12$

$0 \le a < 1$より、$12a-12<0$

したがって$x=0$で最大値をとる。

$x=a$のとき最小値をとる。

$y = 3(x-a)^2 - 3a^2 + 2$ より、$x=a$のとき $y = -3a^2 + 2$

最大値: 2, 最小値: $-3a^2 + 2$

(3) $a = 1$ のとき、軸は定義域内にあります。

$x=0$ で最大値、$x=2$ で最大値、$x=1$で最小値をとります。

$x=0$ のとき $y = 2$

$x=2$ のとき $y = 14 - 12(1) = 2$

$x=1$ のとき $y = 3(1)^2 - 6(1)(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1$

最大値: 2, 最小値: -1

(4) $1 < a \le 2$ のとき、軸は定義域内にあります。

このとき、$x=0$ で最大値、$x=2$ で最大値、$x=a$で最小値をとります。

$x=0$ のとき $y = 2$

$x=2$ のとき $y = 14 - 12a$

$y(0)-y(2) = 2-(14-12a)=12a-12$

$1 < a \le 2$より、$12a-12>0$

したがって$x=2$で最大値をとる。

$x=a$のとき最小値をとる。

$y = 3(x-a)^2 - 3a^2 + 2$ より、$x=a$のとき $y = -3a^2 + 2$

最大値: $14 - 12a$, 最小値: $-3a^2 + 2$

(5) $a > 2$ のとき、軸は定義域の右側にあります。

このとき、$x=0$ で最大値、$x=2$ で最小値をとります。

$x=0$ のとき $y = 2$

$x=2$ のとき $y = 14 - 12a$

最大値: 2, 最小値: $14 - 12a$

3. 最終的な答え

(1) $a < 0$ のとき、最大値: 2, 最小値: $14 - 12a$

(2) $0 \le a < 1$ のとき、最大値: 2, 最小値: $-3a^2 + 2$

(3) $a = 1$ のとき、最大値: 2, 最小値: -1

(4) $1 < a \le 2$ のとき、最大値: $14 - 12a$, 最小値: $-3a^2 + 2$

(5) $a > 2$ のとき、最大値: 2, 最小値: $14 - 12a$