多項式 $A(x) = ax^3 - a^2x^2 - 3x - b$ が多項式 $B(x) = x^2 - 1$ で割り切れるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

多項式 $A(x) = ax^3 - a^2x^2 - 3x - b$ が多項式 $B(x) = x^2 - 1$ で割り切れるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$A(x)$ が $B(x)$ で割り切れるので、$A(x)$ は $B(x)$ で割り切れることを利用します。$B(x) = x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$であるため、$A(x)$は$x-1$と$x+1$を因数に持つことになります。つまり、$A(1) = 0$ かつ $A(-1) = 0$ が成立します。

まず、$A(1) = 0$ より、

$a(1)^3 - a^2(1)^2 - 3(1) - b = 0$

$a - a^2 - 3 - b = 0$

次に、$A(-1) = 0$ より、

$a(-1)^3 - a^2(-1)^2 - 3(-1) - b = 0$

$-a - a^2 + 3 - b = 0$

上記の二つの式から $a$ と $b$ を求めます。

$a - a^2 - 3 - b = 0$ (1)

$-a - a^2 + 3 - b = 0$ (2)

(1) - (2) より、

$(a - a^2 - 3 - b) - (-a - a^2 + 3 - b) = 0 - 0$

$2a - 6 = 0$

$2a = 6$

$a = 3$

$a = 3$ を (1) に代入すると、

$3 - 3^2 - 3 - b = 0$

$3 - 9 - 3 - b = 0$

$-9 - b = 0$

$b = -9$

したがって、$a = 3$、 $b = -9$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 3$, $b = -9$