実数 $x$ に対する命題 $P$：「$x \neq 1$ ならば $x^2 \neq x$ である」について、その逆、裏、対偶をそれぞれ述べ、命題 $P$ とそれらの真偽を判定する問題です。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対する命題 $P$：「$x \neq 1$ ならば $x^2 \neq x$ である」について、その逆、裏、対偶をそれぞれ述べ、命題 $P$ とそれらの真偽を判定する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた命題 $P$：「$x \neq 1$ ならば $x^2 \neq x$ である」について考えます。

次に、$P$ の逆、裏、対偶をそれぞれ記述し、それぞれの真偽を調べます。

ここで、命題とその対偶の真偽は一致し、逆と裏の真偽は一致することを利用します。

- 命題 $P$：「$x \neq 1$ ならば $x^2 \neq x$ である」

$x \neq 1$ のとき、$x^2 = x$ となると仮定すると、$x^2 - x = 0$ より $x(x - 1) = 0$。したがって、$x = 0$ または $x = 1$。

$x \neq 1$ という仮定のもとでは、$x=0$という反例が存在します。従って、$x \neq 1$ならば、$x^2 \neq x$であるは、正しくないです。つまり、命題 $P$ は偽です。（サ：偽）

- 命題 $P$ の逆：「$x^2 \neq x$ ならば $x \neq 1$ である」

これは選択肢④に一致します。 （ク：④）

$x^2 \neq x$のとき、$x=1$と仮定すると、$1^2=1$なので、$x^2 = x$が成り立ちます。

これは矛盾するので、逆は真です。（シ：真）

- 命題 $P$ の裏：「$x = 1$ ならば $x^2 = x$ である」

これは選択肢②に一致します。 （ケ：②）

$x = 1$ ならば、$x^2 = 1^2 = 1 = x$ なので、$x^2 = x$ は真です。

したがって、裏は真です。（ス：真）

- 命題 $P$ の対偶：「$x^2 = x$ ならば $x = 1$ である」

これは選択肢③に一致します。 （コ：③）

$x^2=x$とすると、$x^2-x=0$となり、$x(x-1)=0$

したがって、$x=0$または$x=1$。

$x=0$のときに、$x=1$とならないので、偽です。

したがって、対偶は偽です。（セ：偽）

3. 最終的な答え

サ：偽

ク：④

シ：真

ケ：②

ス：真

コ：③

セ：偽