与えられた2次関数 $y = \frac{2}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1$ を平方完成させ、そのグラフを描く。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = \frac{2}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1$ を平方完成させ、そのグラフを描く。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成させる。

$y = \frac{2}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1$

$\frac{2}{3}$ で $x^2$ と $x$ の項をくくり出す。

$y = \frac{2}{3}(x^2 - 2x) + 1$

括弧の中を平方完成させる。$x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$

$y = \frac{2}{3}((x-1)^2 - 1) + 1$

括弧を外し、定数項をまとめる。

$y = \frac{2}{3}(x-1)^2 - \frac{2}{3} + 1$

$y = \frac{2}{3}(x-1)^2 + \frac{1}{3}$

これで平方完成が完了した。頂点の座標は $(1, \frac{1}{3})$ である。$x^2$ の係数が正であるため、グラフは下に凸の放物線となる。

グラフを描くには、頂点の座標をプロットし、いくつかの点を計算して描画する。

例えば、 $x=0$ のとき、$y = \frac{2}{3}(0-1)^2 + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$。よって、$(0, 1)$ を通る。

$x=2$ のとき、$y = \frac{2}{3}(2-1)^2 + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$。よって、$(2, 1)$ を通る。

3. 最終的な答え

平方完成させた式：

$y = \frac{2}{3}(x-1)^2 + \frac{1}{3}$

グラフ：

頂点 $(1, \frac{1}{3})$ を持ち、下に凸の放物線。$(0, 1)$ と $(2, 1)$ を通る。