放物線 $y=x^2+ax+b$ を原点に関して対称移動し、さらにx軸方向に3、y軸方向に6だけ平行移動すると、放物線 $y=-x^2+4x-7$ が得られる。このとき、$a$、$b$の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2+ax+b$ を原点に関して対称移動し、さらにx軸方向に3、y軸方向に6だけ平行移動すると、放物線 $y=-x^2+4x-7$ が得られる。このとき、$a$、$b$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y=x^2+ax+b$ を原点に関して対称移動する。

原点対称移動は、$x$ を $-x$ に、$y$ を $-y$ に置き換える。

したがって、$-y=(-x)^2+a(-x)+b$ となる。

これを整理すると、

$y = -x^2+ax-b$ となる。

(2) さらに、x軸方向に3、y軸方向に6だけ平行移動する。

$x$ を $x-3$ に、$y$ を $y-6$ に置き換える。

$y-6 = -(x-3)^2+a(x-3)-b$

$y = -(x^2-6x+9)+ax-3a-b+6$

$y = -x^2+6x-9+ax-3a-b+6$

$y = -x^2+(6+a)x-3a-b-3$

(3) 得られた放物線 $y = -x^2+(6+a)x-3a-b-3$ が $y = -x^2+4x-7$ と一致するので、係数を比較する。

$6+a=4$ より、$a = -2$

$-3a-b-3=-7$ に $a=-2$ を代入すると、

$-3(-2)-b-3=-7$

$6-b-3=-7$

$3-b=-7$

$b=10$

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = 10$