問題は、線形写像 $f \left(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} x - y \\ x + y \end{bmatrix}$ が与えられたとき、次の3つの問いに答えるものです。 (1) $f = f_A$ となる2次正方行列 $A$ を求めよ。 (2) $g \left(\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}\right) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} u + v \\ -u + v \end{bmatrix}$ は $f$ の逆写像であることを示せ。 (3) $g = f_B$ となる2次正方行列 $B$ を求めよ。また、$B$ は $A$ の逆行列であることを示せ。

1. 問題の内容

問題は、線形写像 $f \left(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} x - y \\ x + y \end{bmatrix}$ が与えられたとき、次の3つの問いに答えるものです。

(1) $f = f_A$ となる2次正方行列 $A$ を求めよ。

(2) $g \left(\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}\right) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} u + v \\ -u + v \end{bmatrix}$ は $f$ の逆写像であることを示せ。

(3) $g = f_B$ となる2次正方行列 $B$ を求めよ。また、$B$ は $A$ の逆行列であることを示せ。

2. 解き方の手順

(1) $f_A$ は行列 $A$ による線形写像を表すので、$f \left(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\right) = A \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ となる行列 $A$ を求めます。

$f \left(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} x - y \\ x + y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

したがって、$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ となります。

(2) $g$ が $f$ の逆写像であるためには、$f(g(\mathbf{v})) = \mathbf{v}$ および $g(f(\mathbf{v})) = \mathbf{v}$ が任意のベクトル $\mathbf{v}$ に対して成り立つ必要があります。

まず、$f(g(\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}))$ を計算します。

$f(g(\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix})) = f(\frac{1}{2} \begin{bmatrix} u + v \\ -u + v \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} \frac{1}{2}(u+v) - \frac{1}{2}(-u+v) \\ \frac{1}{2}(u+v) + \frac{1}{2}(-u+v) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}$

次に、$g(f(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}))$ を計算します。

$g(f(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix})) = g(\begin{bmatrix} x - y \\ x + y \end{bmatrix}) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} (x-y) + (x+y) \\ -(x-y) + (x+y) \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2x \\ 2y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

したがって、$g$ は $f$ の逆写像です。

(3) $g = f_B$ となる行列 $B$ を求めます。

$g \left(\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}\right) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} u + v \\ -u + v \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}$

したがって、$B = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$ となります。

次に、$B$ が $A$ の逆行列であることを示します。

$AB = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$

$BA = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$

したがって、$B = A^{-1}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

(2) $g$ は $f$ の逆写像である (証明済み)

(3) $B = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$ であり、$B$ は $A$ の逆行列である (証明済み)