命題「$x^2 \neq -x \implies x \neq -1$」の逆、裏、対偶を述べ、それぞれの真偽を調べる。

1. 問題の内容

命題「$x^2 \neq -x \implies x \neq -1$」の逆、裏、対偶を述べ、それぞれの真偽を調べる。

2. 解き方の手順

(1) 逆

命題の逆は、「$x \neq -1 \implies x^2 \neq -x$」である。

$x = 1$のとき、$x \neq -1$だが、$x^2 = 1$、$-x = -1$となり、$x^2 \neq -x$は成り立たない。

したがって、逆は偽である。

(2) 裏

命題の裏は、「$x^2 = -x \implies x = -1$」である。

$x^2 = -x$は、$x^2 + x = 0$と変形できる。

$x(x + 1) = 0$より、$x = 0$または$x = -1$である。

$x = 0$のとき、$x^2 = -x$を満たすが、$x = -1$ではない。

したがって、裏は偽である。

(3) 対偶

命題の対偶は、「$x = -1 \implies x^2 = -x$」である。

$x = -1$のとき、$x^2 = (-1)^2 = 1$、$-x = -(-1) = 1$なので、$x^2 = -x$が成り立つ。

したがって、対偶は真である。

3. 最終的な答え

* 逆：「$x \neq -1 \implies x^2 \neq -x$」、偽

* 裏：「$x^2 = -x \implies x = -1$」、偽

* 対偶：「$x = -1 \implies x^2 = -x$」、真