与えられた2次関数の最大値または最小値が指定された値になるように、定数 $c$ の値を求める問題です。 (1) $y = 2x^2 + 4x + c$ ($-2 \le x \le 1$) の最大値が7となるような $c$ の値を求めます。 (2) $y = -x^2 + 2x + c$ ($0 \le x \le 3$) の最小値が-5となるような $c$ の値を求めます。

代数学二次関数最大値最小値平方完成
2025/7/12

1. 問題の内容

与えられた2次関数の最大値または最小値が指定された値になるように、定数 cc の値を求める問題です。
(1) y=2x2+4x+cy = 2x^2 + 4x + c (2x1-2 \le x \le 1) の最大値が7となるような cc の値を求めます。
(2) y=x2+2x+cy = -x^2 + 2x + c (0x30 \le x \le 3) の最小値が-5となるような cc の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)
まず、y=2x2+4x+cy = 2x^2 + 4x + c を平方完成します。
y=2(x2+2x)+c=2(x2+2x+11)+c=2(x+1)22+cy = 2(x^2 + 2x) + c = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + c = 2(x+1)^2 - 2 + c
グラフの軸は x=1x = -1 であり、定義域 2x1-2 \le x \le 1 に含まれます。
x=1x = -1 で最小値をとり、y=2+cy = -2 + c です。
x=1x = 1 のとき、y=2(1)2+4(1)+c=2+4+c=6+cy = 2(1)^2 + 4(1) + c = 2 + 4 + c = 6 + c です。
x=2x = -2 のとき、y=2(2)2+4(2)+c=88+c=cy = 2(-2)^2 + 4(-2) + c = 8 - 8 + c = c です。
6+c>c6+c > c なので、x=1x=1 で最大値をとります。
6+c=76 + c = 7 より、c=1c = 1 となります。
(2)
まず、y=x2+2x+cy = -x^2 + 2x + c を平方完成します。
y=(x22x)+c=(x22x+11)+c=(x1)2+1+cy = -(x^2 - 2x) + c = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + c = -(x-1)^2 + 1 + c
グラフの軸は x=1x = 1 であり、定義域 0x30 \le x \le 3 に含まれます。
x=1x = 1 で最大値をとり、y=1+cy = 1 + c です。
x=0x = 0 のとき、y=02+2(0)+c=cy = -0^2 + 2(0) + c = c です。
x=3x = 3 のとき、y=32+2(3)+c=9+6+c=3+cy = -3^2 + 2(3) + c = -9 + 6 + c = -3 + c です。
c>3+cc > -3+c なので、x=3x=3 で最小値をとります。
3+c=5-3 + c = -5 より、c=2c = -2 となります。

3. 最終的な答え

(1) c=1c = 1
(2) c=2c = -2

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