与えられた関数の最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = 2(x+1)(x-4)$ であり、定義域は $-1 \le x \le 4$ です。 (2) $y = -2x^2 + x$ であり、定義域は $x \le -1$ です。

1. 問題の内容

与えられた関数の最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = 2(x+1)(x-4)$ であり、定義域は $-1 \le x \le 4$ です。

(2) $y = -2x^2 + x$ であり、定義域は $x \le -1$ です。

2. 解き方の手順

(1) $y = 2(x+1)(x-4)$ を展開し、平方完成します。

$y = 2(x^2 - 3x - 4) = 2x^2 - 6x - 8$

$y = 2(x^2 - 3x) - 8 = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 8$

$y = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{9}{4}\right) - 8 = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{2} - \frac{16}{2}$

$y = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{25}{2}$

頂点の座標は $\left(\frac{3}{2}, -\frac{25}{2}\right)$ です。

定義域 $-1 \le x \le 4$ における最大値と最小値を考えます。

$x = \frac{3}{2}$ のとき、最小値 $y = -\frac{25}{2}$

$x = -1$ のとき、$y = 2(-1+1)(-1-4) = 0$

$x = 4$ のとき、$y = 2(4+1)(4-4) = 0$

よって、最大値は $0$ です。

(2) $y = -2x^2 + x$ を平方完成します。

$y = -2\left(x^2 - \frac{1}{2}x\right) = -2\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + 2\left(\frac{1}{4}\right)^2$

$y = -2\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{2}{16} = -2\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{1}{8}$

頂点の座標は $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{8}\right)$ です。

定義域 $x \le -1$ における最大値と最小値を考えます。

この放物線は上に凸なので、$x$ が小さいほど $y$ の値は小さくなります。

$x = -1$ のとき、$y = -2(-1)^2 + (-1) = -2 - 1 = -3$

定義域に上限がないので、最小値はありません。

$x = -1$ のときに $y = -3$ となり、これは最大値です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値：$0$, 最小値：$-\frac{25}{2}$

(2) 最大値：$-3$, 最小値：なし