(11) 2次関数 $y = -x^2 - 6x - 2$ の最大値を求めます。 (12) 2次不等式 $4x^2 + 8x - 5 \ge 0$ を解きます。

1. 問題の内容

(11) 2次関数 $y = -x^2 - 6x - 2$ の最大値を求めます。

(12) 2次不等式 $4x^2 + 8x - 5 \ge 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

(11) 2次関数 $y = -x^2 - 6x - 2$ の最大値を求める。

まず、平方完成を行います。

$y = -(x^2 + 6x) - 2$

$y = -(x^2 + 6x + 9 - 9) - 2$

$y = -(x + 3)^2 + 9 - 2$

$y = -(x + 3)^2 + 7$

したがって、頂点は $(-3, 7)$ で、上に凸なグラフなので、最大値は $7$ です。

(12) 2次不等式 $4x^2 + 8x - 5 \ge 0$ を解く。

まず、左辺を因数分解します。

$4x^2 + 8x - 5 = (2x - 1)(2x + 5)$

よって、

$(2x - 1)(2x + 5) \ge 0$

$2x - 1 = 0$ より、$x = \frac{1}{2}$

$2x + 5 = 0$ より、$x = -\frac{5}{2}$

したがって、$x \le -\frac{5}{2}$ または $x \ge \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(11) 最大値: $7$

(12) $x \le -\frac{5}{2}$ または $x \ge \frac{1}{2}$