次の連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解く問題です。 $ \begin{cases} x + y + z = 3 \\ x - y + z = 1 \\ y + z = 1 \end{cases} $

1. 問題の内容

次の連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解く問題です。

$$

\begin{cases}

x + y + z = 3 \\

x - y + z = 1 \\

y + z = 1

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

まず、係数行列 $A$ と、解のベクトル $b$ を定義します。

$$

A = \begin{pmatrix}

1 & 1 & 1 \\

1 & -1 & 1 \\

0 & 1 & 1

\end{pmatrix}, \quad

b = \begin{pmatrix}

3 \\ 1 \\ 1

\end{pmatrix}

$$

次に、$A$ の行列式 $|A|$ を計算します。

$$

|A| = \begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 \\

1 & -1 & 1 \\

0 & 1 & 1

\end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(-1-1) - 1(1-0) + 1(1-0) = -2 - 1 + 1 = -2

$$

次に、$x, y, z$ について、それぞれ $A$ の列を $b$ で置き換えた行列の行列式を計算します。

$|A_x| = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 3\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3(-2) - 1(0) + 1(2) = -6 + 2 = -4$

$|A_y| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 3\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(0) - 3(1) + 1(1) = -3 + 1 = -2$

$|A_z| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(-2) - 1(1) + 3(1) = -2 - 1 + 3 = 0$

クラメルの公式より、

$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{-4}{-2} = 2$

$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{-2}{-2} = 1$

$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{0}{-2} = 0$

3. 最終的な答え

$x = 2$, $y = 1$, $z = 0$