連立不等式 $5x-2 > 12+3x$ と $x-a \geq 3x+1$ を満たす整数 $x$ がちょうど3個存在するような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

代数学不等式連立不等式整数解範囲
2025/7/12

1. 問題の内容

連立不等式 5x2>12+3x5x-2 > 12+3xxa3x+1x-a \geq 3x+1 を満たす整数 xx がちょうど3個存在するような定数 aa の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解きます。
1つ目の不等式:
5x2>12+3x5x - 2 > 12 + 3x
2x>142x > 14
x>7x > 7
2つ目の不等式:
xa3x+1x - a \geq 3x + 1
2xa+1-2x \geq a + 1
xa+12x \leq -\frac{a+1}{2}
したがって、連立不等式を満たす xx の範囲は
7<xa+127 < x \leq -\frac{a+1}{2}
この範囲に整数 xx がちょうど3個存在するためには、xx が8, 9, 10の3つだけが存在すればよい。
したがって、10a+12<1110 \leq -\frac{a+1}{2} < 11 である必要がある。
各辺に-2を掛けて、不等号の向きを反転させます。
22<a+120-22 < a+1 \leq -20
各辺から1を引くと、
23<a21-23 < a \leq -21

3. 最終的な答え

23<a21-23 < a \leq -21

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