$x^2(x + 1) - 9(x + 1) = 0$

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1. 問題の内容

与えられた4つの3次方程式の解を求める問題です。

(1) $x^3 + x^2 - 9x - 9 = 0$

(2) $x^3 - 3x - 2 = 0$

(3) $2x^3 - x - 1 = 0$

(4) $x^3 + x^2 - 3x - 2 = 0$

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2. 解き方の手順

### (1) $x^3 + x^2 - 9x - 9 = 0$

1. 因数分解を行います。

$x^2(x + 1) - 9(x + 1) = 0$

2. $(x + 1)$ でくくります。

$(x + 1)(x^2 - 9) = 0$

3. $(x^2 - 9)$ を因数分解します。

$(x + 1)(x - 3)(x + 3) = 0$

4. 各因数が0になる $x$ を求めます。

$x + 1 = 0$ より $x = -1$

$x - 3 = 0$ より $x = 3$

$x + 3 = 0$ より $x = -3$

### (2) $x^3 - 3x - 2 = 0$

1. 因数定理を利用します。$x = -1$ を代入すると $(-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$ となるので、$x + 1$ を因数に持ちます。

2. $x^3 - 3x - 2$ を $x + 1$ で割ります。

筆算または組み立て除法を用いると、 $x^3 - 3x - 2 = (x + 1)(x^2 - x - 2)$ となります。

3. $x^2 - x - 2$ を因数分解します。

$x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)$

4. よって、$x^3 - 3x - 2 = (x + 1)(x + 1)(x - 2) = (x + 1)^2 (x - 2) = 0$ となります。

5. 各因数が0になる $x$ を求めます。

$(x + 1)^2 = 0$ より $x = -1$ (重解)

$x - 2 = 0$ より $x = 2$

### (3) $2x^3 - x - 1 = 0$

1. 因数定理を利用します。$x = 1$ を代入すると $2(1)^3 - (1) - 1 = 2 - 1 - 1 = 0$ となるので、$x - 1$ を因数に持ちます。

2. $2x^3 - x - 1$ を $x - 1$ で割ります。

筆算または組み立て除法を用いると、$2x^3 - x - 1 = (x - 1)(2x^2 + 2x + 1)$ となります。

3. $2x^2 + 2x + 1 = 0$ を解きます。

解の公式を用いると、$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(2)(1)}}{2(2)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{4} = \frac{-2 \pm 2i}{4} = \frac{-1 \pm i}{2}$ となります。

4. よって、$x = 1, \frac{-1 + i}{2}, \frac{-1 - i}{2}$ となります。

### (4) $x^3 + x^2 - 3x - 2 = 0$

1. 因数定理を利用します。$x = -2$ を代入すると $(-2)^3 + (-2)^2 - 3(-2) - 2 = -8 + 4 + 6 - 2 = 0$ となるので、$x + 2$ を因数に持ちます。

2. $x^3 + x^2 - 3x - 2$ を $x + 2$ で割ります。

筆算または組み立て除法を用いると、$x^3 + x^2 - 3x - 2 = (x + 2)(x^2 - x - 1)$ となります。

3. $x^2 - x - 1 = 0$ を解きます。

解の公式を用いると、$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ となります。

4. よって、$x = -2, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ となります。

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3. 最終的な答え

(1) $x = -3, -1, 3$

(2) $x = -1$ (重解), $2$

(3) $x = 1, \frac{-1 + i}{2}, \frac{-1 - i}{2}$

(4) $x = -2, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$