$c$ を正の定数とし、不等式 $x^{\log_2 x} \geq cx^2$ ...① を考える。$t = \log_2 x$ とおき、底を2とする①の両辺の対数をとることで、問題を解いていく。

1. 問題の内容

$c$ を正の定数とし、不等式 $x^{\log_2 x} \geq cx^2$ ...① を考える。$t = \log_2 x$ とおき、底を2とする①の両辺の対数をとることで、問題を解いていく。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x^{\log_2 x} \geq cx^2$ の両辺の底が2の対数をとると、

$\log_2 (x^{\log_2 x}) \geq \log_2 (cx^2)$

$\log_2 x \cdot \log_2 x \geq \log_2 c + 2\log_2 x$

$t = \log_2 x$ とおくと、

$t^2 \geq \log_2 c + 2t$

$t^2 - 2t - \log_2 c \geq 0$

よって、アには $t^2 - 2t - \log_2 c \geq 0$ が入る。

$c=8$ のとき、$t^2 - 2t - \log_2 8 \geq 0$

$t^2 - 2t - 3 \geq 0$

$(t-3)(t+1) \geq 0$

よって、$t \leq -1, t \geq 3$

したがって、ウエは -1、オは 3。

$t = \log_2 x$ より、

$\log_2 x \leq -1$ より $x \leq 2^{-1} = \frac{1}{2}$

$\log_2 x \geq 3$ より $x \geq 2^3 = 8$

真数条件より $x>0$ なので、

$0 < x \leq \frac{1}{2}$、 $x \geq 8$

したがって、カは 0、キは 1、クは 2、ケは 8。

(2)

①が $x > 0$ の範囲で常に成り立つような $c$ の値の範囲を求める。

$x>0$ の範囲を動くとき、$t = \log_2 x$ はすべての実数をとる。

したがって、コは ②の実数全体。

$t^2 - 2t - \log_2 c \geq 0$ が全ての実数 $t$ で成り立つためには、判別式 $D \leq 0$ が必要十分。

$D = (-2)^2 - 4(1)(-\log_2 c) = 4 + 4\log_2 c \leq 0$

$1 + \log_2 c \leq 0$

$\log_2 c \leq -1$

したがって、サシは -1。

$c \leq 2^{-1} = \frac{1}{2}$

$c > 0$ より $0 < c \leq \frac{1}{2}$

したがって、スは 1、セは 2。

3. 最終的な答え

ア：$t^2 - 2t - \log_2 c \geq 0$

ウエ：-1

オ：3

カ：0

キ：1

ク：2

ケ：8

コ：②

サシ：-1

ス：1

セ：2