与えられた行列 $A$ の行列式 $\det(A)$ を求める問題です。行列 $A$ は、以下の形をしています。 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の行列式 $\det(A)$ を求める問題です。行列 $A$ は、以下の形をしています。

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

$\det(A)$ は置換 $\sigma$ を用いて以下のように表されます。

$\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \dots a_{n\sigma(n)}$

$a_{21} = a_{31} = \dots = a_{n1} = 0$ であるため、$\sigma(1) \neq 1$ のとき、$a_{k\sigma(k)} = a_{k1} = 0$ となる $k \neq 1$ が存在し、$\text{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \dots a_{n\sigma(n)} = 0$ となります。

したがって、$\sigma(1) \neq 1$ となる項に関する和は0となり、$\sigma(1) = 1$ となる項のみを考えれば良いことになります。$\sigma(1) = 1$ とは、$\sigma$ が $\{2, 3, \dots, n\}$ の置換であることを意味します。

$\det(A) = \sum_{\sigma(1)=1} \text{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \dots a_{n\sigma(n)} = a_{11} \sum_{\sigma(1)=1} \text{sgn}(\sigma) a_{2\sigma(2)} \dots a_{n\sigma(n)}$

ここで、$\sum_{\sigma(1)=1} \text{sgn}(\sigma) a_{2\sigma(2)} \dots a_{n\sigma(n)}$ は、行列 $\begin{pmatrix} a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}$ の行列式に等しくなります。

したがって、

$\det(A) = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}$

3. 最終的な答え

$\det(A) = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}$