方程式 $|x| + |x-3| = x+5$ を解く。

1. 問題の内容

方程式 $|x| + |x-3| = x+5$ を解く。

2. 解き方の手順

絶対値を含む方程式なので、場合分けをして解く。

(i) $x < 0$ のとき:

このとき、$|x| = -x$ かつ $|x-3| = -(x-3) = -x+3$ なので、方程式は

$-x + (-x+3) = x+5$

$-2x + 3 = x+5$

$-3x = 2$

$x = -\frac{2}{3}$

これは、$x<0$ を満たすので、解の一つである。

(ii) $0 \le x < 3$ のとき:

このとき、$|x| = x$ かつ $|x-3| = -(x-3) = -x+3$ なので、方程式は

$x + (-x+3) = x+5$

$3 = x+5$

$x = -2$

これは、$0 \le x < 3$ を満たさないので、解ではない。

(iii) $x \ge 3$ のとき:

このとき、$|x| = x$ かつ $|x-3| = x-3$ なので、方程式は

$x + (x-3) = x+5$

$2x - 3 = x+5$

$x = 8$

これは、$x \ge 3$ を満たすので、解の一つである。

3. 最終的な答え

$x = -\frac{2}{3}, 8$