与えられた行列 $A$ と $B$ に対して、以下の問題を解く。 * 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -4 \\ -2 & -4 & 5 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}$ の逆行列をガウスの消去法を用いて求める。 * 行列 $B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ の逆行列を余因子行列を用いて求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ と $B$ に対して、以下の問題を解く。

* 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -4 \\ -2 & -4 & 5 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}$ の逆行列をガウスの消去法を用いて求める。

* 行列 $B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ の逆行列を余因子行列を用いて求める。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ の逆行列をガウスの消去法で求める。

$A$ に単位行列を並べた拡大行列を作成し、基本変形を行って $A$ を単位行列に変換する。このとき、右側の単位行列が $A$ の逆行列になる。

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -4 & | & 1 & 0 & 0 \\ -2 & -4 & 5 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目を1/2倍する。

$\begin{pmatrix} 1 & 3/2 & -2 & | & 1/2 & 0 & 0 \\ -2 & -4 & 5 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目に1行目の2倍を加える、3行目から1行目を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 3/2 & -2 & | & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & | & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 & | & -1/2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目を-1倍する。

$\begin{pmatrix} 1 & 3/2 & -2 & | & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 & | & -1/2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目から2行目の3/2倍を引く、3行目から2行目の1/2倍を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1/2 & | & 2 & 3/2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1/2 & | & 0 & 1/2 & 1 \end{pmatrix}$

3行目を2倍する。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1/2 & | & 2 & 3/2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

1行目に3行目の1/2倍を加える、2行目に3行目を加える。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

よって、$A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

(2) 行列 $B$ の逆行列を余因子行列で求める。

$B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ の余因子行列を $\tilde{B}$ とすると、

$\tilde{B} = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{pmatrix}$

各余因子を計算する。

$C_{11} = \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 0 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = -2$

$C_{12} = - \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -((-1) \cdot 2 - 2 \cdot 0) = 2$

$C_{13} = \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 1 - 0 \cdot 0 = -1$

$C_{21} = - \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -(2 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = -3$

$C_{22} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 0 = 4$

$C_{23} = - \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(2 \cdot 1 - 2 \cdot 0) = -2$

$C_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 0 = 4$

$C_{32} = - \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = -(2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) = -5$

$C_{33} = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 2 \cdot 0 - 2 \cdot (-1) = 2$

$\tilde{B} = \begin{pmatrix} -2 & 2 & -1 \\ -3 & 4 & -2 \\ 4 & -5 & 2 \end{pmatrix}$

転置行列 $\tilde{B}^T = \begin{pmatrix} -2 & -3 & 4 \\ 2 & 4 & -5 \\ -1 & -2 & 2 \end{pmatrix}$

$B$ の行列式を計算する。

$\det(B) = 2 \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2(-2) - 2(-2) + 1(-1) = -4 + 4 - 1 = -1$

$B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \tilde{B}^T = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -2 & -3 & 4 \\ 2 & 4 & -5 \\ -1 & -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -4 \\ -2 & -4 & 5 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

$B^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -4 \\ -2 & -4 & 5 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}$