与えられた式 $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$6x^2 + (7y + 1)x + (2y^2 - 2)$

次に、定数項 $2y^2 - 2$ を因数分解します。

$2y^2 - 2 = 2(y^2 - 1) = 2(y - 1)(y + 1)$

与えられた式が因数分解できると仮定すると、$(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形になるはずです。

$6x^2 + (7y + 1)x + 2(y - 1)(y + 1) = (2x + y + a)(3x + 2y + b)$ と置いて、展開した結果と係数を比較します。

$(2x + y + a)(3x + 2y + b) = 6x^2 + 4xy + 2bx + 3xy + 2y^2 + by + 3ax + 2ay + ab$

$= 6x^2 + 7xy + 2y^2 + (2b + 3a)x + (b + 2a)y + ab$

元の式 $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$ と比較すると、

$2b + 3a = 1$

$b + 2a = 0$

$ab = -2$

$b = -2a$ より、

$2(-2a) + 3a = -4a + 3a = -a = 1$

よって、$a = -1$

$b = -2a = -2(-1) = 2$

$ab = (-1)(2) = -2$

したがって、

$(2x + y - 1)(3x + 2y + 2)$ が因数分解の結果です。

3. 最終的な答え

$(2x + y - 1)(3x + 2y + 2)$