与えられた行列 A の階数を求める問題です。行列 A は以下の通りです。 $A = \begin{pmatrix} 0 & a & a \\ 1 & a & a^2+1 \\ 1 & -a & 1-a \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 A の階数を求める問題です。行列 A は以下の通りです。

$A = \begin{pmatrix} 0 & a & a \\ 1 & a & a^2+1 \\ 1 & -a & 1-a \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列の階数は、行列を簡約化した後のゼロでない行の数です。行列を簡約化するために、行基本変形を行います。

まず、1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & a & a^2+1 \\ 0 & a & a \\ 1 & -a & 1-a \end{pmatrix}$

次に、3行目から1行目を引きます（3行目に「3行目 - 1行目」の演算を行います）。

$\begin{pmatrix} 1 & a & a^2+1 \\ 0 & a & a \\ 0 & -2a & -a^2-a \end{pmatrix}$

さらに、3行目に $2$行目を足します(3行目に「3行目 + 2行目」の演算を行います）。

$\begin{pmatrix} 1 & a & a^2+1 \\ 0 & a & a \\ 0 & 0 & -a^2 \end{pmatrix}$

ここで場合分けを行います。

* **場合1: $a \ne 0$ のとき**

行列は

$\begin{pmatrix} 1 & a & a^2+1 \\ 0 & a & a \\ 0 & 0 & -a^2 \end{pmatrix}$

となり、3つの行が全てゼロベクトルではありません。したがって、階数は3です。

* **場合2: $a = 0$ のとき**

行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

となり、ゼロでない行は1行のみです。したがって、階数は1です。

3. 最終的な答え

$a \ne 0$ のとき、行列 A の階数は 3 です。

$a = 0$ のとき、行列 A の階数は 1 です。